Այս համարում ներառված են հետևյալ նյութերը․

Մաթեմատիկա առարկայից օլիմպիադայի խնդիրներ, լուծումներ․ Միջին դպրոց, 6-րդ դասարան
Խաղ «Տանտրիկս», խնդիրներ «Քվանտիկ» ամսագրից․ Միջին դպրոց, 7-րդ դասարան
Անդրադարձ «Մաթեմատիկա»  ամսագրի №94-րդ համարին․ Մաթեմատիկա դասավանդողներ
Խաղ քարերով․ Սյուզի Հակոբյան
Զգուշացեք տոկոսներ են․  Գևորգ Հակոբյան
Խնդիրներ «Քվանտ» ամսագրից, Միջին դպրոց 7-րդ դասարան

 

Մաթեմատիկա առարկայից օլիմպիադայի խնդիրներ, լուծումներ․ Միջին դպրոց, 6-րդ դասարան

1.Երբ մեքենան անցավ ճանապարհի 35%-ը, պարզվեց, որ մնացած ճանապարհը 42 կմ-ով ավելի է անցածից։ Գտնել ճանապարհի երկարությունը։

Լուծում։
Երբ մեքենան անցավ ճանապարհի 35%-ը, մնաց անցնելու 65%-ը, այն 30%- ով ավել է անցած ճանապարհից՝
65-35=30%
այսինքն`  ճանապարհի 30%-ը  42կմ է կազմում։
Ամբողջ ճանապարհի երկարությունը գտնելու համար պետք է՝ 42×100:30=140կմ
Պատասխան՝ 140կմ

 

2․ Թիվը իր 1/ 3 մասից մեծ է 30-ով։ Որքանո՞վ է այդ թիվը մեծ իր 2/5 մասից։

Լուծում։
1-1/3=2/3
Ըստ խնդրի պայմանի թվի  2/3 մասը հավասար է 30-ի։
Այսինքն` սկզբնական թիվը հավասար է 45:
30×3:2=45
Այժմ գտնենք 45-ի 2/5 մասը։
45:5×2=18
45-18=27
Պատասխան՝ 27

3. 382, 190, 94, 46, ․․․, ․․․, թվերը գրված են որոշակի օրինաչափությամբ։
Գտնել 46-ից հետո գրված հաջորդ երկու թվերի գումարը։

Լուծում։
Նկատենք, որ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ հավասար նախորդ թվի և երկուսի տարբերության կեսին։
190=(382-2):2
94=(190-2):2
46=(94-2):2
Հաջորդ թիվը կլինի
(46-2):2=22
(22-2):2=10
Գումարը կլինի՝
22+10=32
Պատասխան՝ 32

 

4.Բազմահարկ շենքը ունի մեկ մուտք, իսկ յուրաքանչյուր հարկում կա չորս բնակարան։ Գտնել այդ շենքի 19-րդ հարկի բնակարանների համարների գումարը:

Լուծում։
Առաջին հարկում բնակարանների  համարները կլինեն՝ 1, 2, 3, 4
Երկրորդ հարկում բնակարանների  համարները կլինեն՝ 5, 6, 7, 8
Երրորդ հարկում բնակարանների  համարները կլինեն՝ 9, 10, 11, 12

…………………………………………………………………………………………….

Տասնիններորդ հարկում բնակարանների համարները կլինեն՝ 73,74, 75, 76
Գումարելով համարները կստանանք՝
74+73+75+76=298
Պատասխան՝ 298

5.Դաշտում կովեր են արածում։ Դրանց ոտքերի և գլուխների տարբերությունը 45-ից շատ է, իսկ 50-ից՝ քիչ։ Քանի՞ կով է արածում դաշտում։

Լուծում։
Յուրաքանչյուր կովի ոտքերի թիվը 3-ով ավել է գլխի թվից։
Գտնենք 45-ից մեծ  և 50-ից  փոքր թիվ, որը լինի  երեքի պատիկ, այն 48-ն է՝
48:3=16
Պատասխան՝ 16

6.Ամիսներից մեկում կար 5 հինգշաբթի օր։ Սակայն ամսվա առաջին և վերջին օրերը հինգշաբթի չէին։ Շաբաթվա ի՞նչ օր էր այդ ամսվա 21-ը։

Լուծում։
Ամիսներից մեկում կար 5 հինգշաբթի, հնարավոր են հետևյալ դեպքերը․
ա)1,8,15, 22 29
բ)3, 10, 17, 24, 31
գ)2, 9, 16, 23, 30

ա)1,8,15, 22 29 այս դեպքը հնարավոր չէ, քանի որ ամսի մեկը հինգշաբթի չէ։
բ)3, 10, 17, 24, 31 այս դեպքը ևս հնարավոր չէ, քանի որ ամսվա վերջին օրը հինգշաբթի չէ։
Մնաց վերջին տարբերակը՝ գ)-ն։
Եթե ամսի 23-ը հինգշաբթի է, ուրեմն ամսի 21-կլինի երեքշաբթի։
Պատասխան՝ երեքշաբթի։

7.Արամը գտել է 2022-ից մեծ այն ամենափոքր թիվը, որը ունի երեք կրկնվող
թվանշան։ Նարեկը գտել է 2022-ից փոքր այն ամենամեծ թիվը, որը նույնպես ունի
երեք կրկնվող։ Ինչքանո՞վ է Արամի գտած թիվը մեծ Նարեկի գտած թվից։

Լուծում։
Արամի գտած թիվը կլինի՝ 2111
Նարեկը գտած թիվը կլինի՝ 2000
Տարբերուաթյունը կլինի՝2111-2000=111
Պատասխան՝ 111:

 

8.Քառանիշ թիվը սկսվում է 3 թվանշանով։ Եթե այդ թվանշանը տեղափոխեն թվի
վերջը, թիվը 3114-ով կմեծանա: Գտնել սկզբնական թվի թվանշանների գումարը։

Լուծում։
Քառանիշ թիվը սկսվում է 3 թվանշանով,
3 * * *
Երեք թվանշանը տեղափոխենք թվի վերջ կլինի՝
* * * 3
Ըստ խնդրի պայմանի, եթե այդ թվանշանը տեղափոխեն թվի
վերջը, թիվը 3114-ով կմեծանա:
Կստանանք՝
* * * 3 – 3* * * =3114
Լուծելով մաթեմատիկական ռեբուսը կստանանք՝ 679
Քառանիշ թիվը կլինի՝ 3679։
Սկզբնական թվի թվանշանների գումարը կլինի՝ 3+6+7+9 = 25
Պատասխան՝ 25

 

9.Քանի՞ եռանիշ թիվ կա, որոնցից յուրաքանչյուրի թվանշանների արտադրյալը պարզ թիվ է:

Լուծում։
Նախ հասկանալի է, որ որոնելի թիվը չի կարող պարունակել  զրո թվանշանը և արտադրյալը  միանիշ թիվ է:

Թվի թվանշանների արտադրյալը 2 է՝
211, 112, 121

Թվի թվանշանների արտադրյալը 3 է՝
113,131, 113

Թվի թվանշանների արտադրյալը 5 է`
151,115,511

Թվի թվանշանների արտադրյալը 7 է՝
171, 117, 171
Ստացանք 3×4=12 դեպք։
Պատասխան՝ 12

10. Գտնել այն եռանիշ թվերի քանակը, որոնցից յուրաքանչյուրը 13-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 9։

Լուծում։
Առաջին եռանիշ թիվը, որը  13-ի բաժանելիս կունենա 9 մնացորդ, 100-ն է, վերջին եռանիշ թիվը այդ պայմանին բավարորող՝  997 -ն է։
(997-100):13=69
69+1=70
Պատասխան՝ 70:

 

 

Խաղ «Տանկտրիկս», խնդիրներ  «Քվանտիկ» ամսագրից, Միջին դպրոց, 7-րդ դասարան

1.Յուրաքանչյուր աստղանիշ փոխարինեք թվանշանով այնպես, որ երեք տասնորդական թվերի արտադրյալը լինի բնական թիվ։ Զրո թվանշանը  չի կարելի օգտագործել, բսյց թվանշանները  կարելի է կրկնել։

*,* *,* *,* = *

2. Նիկիտան գծեց 20 պարագծով  և 21  մակերեսով ուռուցիկ հնգանկյուն և ներկեց։  Տանյան ներկեց հնգանկյան արտաքին այն մասը, որի յուրաքանչյուր կետ հնգանկյան կողմերից հեռու է ոչ ավել քան մեկ միավոր (տես նկարը): Քանի՞ անգամ մեծացավ նոր պատկերի մակերեսը։ Պատասխանը կլորացրեք մինչև հարյուրերորդականը։

3. Խաղ «Տանտրիկս»
Ունենք կապույտ, կարմիր, դեղին գծերով  14 հնարավոր ֆիշկաներ, տես նկարը`

Յուրաքանչյուր ֆիշկա կարելի է թեքել, բայց չի կարելի շրջել, այդ իսկ պատճառով առաջին և երկրորդ ֆիշկաները համարվում են տարբեր, այսինքն՝ մեկը մյուսից հնարավոր չէ ստանալ թեքելով։  Թույլատրվում է մոտեցնել մեկը մյուսին այնպես, որ ֆիշկայի կարմիր, դեղին կամ կապույտ գծերից մեկը  լինի մյուսի  շարունակությունը։
Սաշան ուներ յուրաքանչյուր ֆիշկայից մեկ օրինակ, նա կարողացել է դասավորել այնպես, որ կապույտ գծերը միանալով կազմեն շղթա, ընդ որում  «անցքեր»  չառաջանան (տես նկարը)։

Սաշան կորցրեց  այս ֆիշկան`
Ապացուցեք, որ  հնարավոր չէ մնացած 13 ֆիշկաները դասարավորել այնպես, որ «անցքեր» չառաջանան և կապույտ գծով կազմեն շղթա։

 

 

Անդրադարձ Մաթեմատիկա  ամսագրի №94-րդ համարին․ Մաթեմատիկա դասավանդողներ

Խնդիրներ «‎Քվանտ» ամսագրից

1.Վանյան իրարից տարբեր թվանշանները դասավորեց եռանկյան գագաթներում պատկերված շրջաններում և եռանկյունների  ներսում գրեց  այդ եռանկյան գագաթներում գրված թվերի գումարը կամ արտադրյալը, հետո թվանշանները ջնջեց, տես նկարը: Գտեք  շրջաններում  գրված թվանշանները:

Լուծում

Սկսենք ձախ կողմի եռանկյունուց։ Եռանկյան ներսում գրված թիվը՝ 3, չի կարող լինել երեք միանիշ թվերի արտադրյալ, հետևաբար այդ եռանկյան գագթներում գրված թվերի գումարն է 3։ Այդ եռանկյան գագաթներում պետք է գրված լինեն 0, 1, 2 թվանշանները։ Զրոն պետք է գրված լինի ներքևի ձախ շրջանում, հակառակ դեպքում մեջտեղի եռանկյան գագաթներում գրված թվերի ոչ արտադրյալը, որ գումարը չի կարող լինել 14։
Մեջտեղի եռանկյան երկու գագաթներում գրված է 1 և 2 թվանշանները, ուրեմն այդ եռանկայն ներսում գրված թիվը ստացվել է գագաթներում գրված թվերը բազմապատկելով, հակառակ դեպքում երրորդ գագաթում պետք է գրված լիներ 11։ Ստացանք, որ մեջտեղի եռանկյան երրորդ գագաթում գրված է եղել 7 թվանշանը։
Աջ կողմի եռանկյան գագաթներից մեկում գրված է եղել 7 թվանշանը, հետևաբար այդ եռանկյան ներսում գրված 15 թիվը չի կարող ստացվել որպես արտադրյալ։ Եթե ներքևի տողի մեջտեղի շրջանում գրված լիներ 1, այդ դեպքում աջ կողմի եռանկյան երրորդ գագաթի թիվը կստացվեր 7, ինչ կհակսեր խնդրի պայմանին։ Հետևաբար վերևի տողի ձախ կողմի շրջանում գրված է եղել 1 թվանշանը, ներքևի տողի մեջտեղի շրջանում գրված է եղել 2 թվանշանը և ներքևի տողի աջ շրջանում գրված է եղել 6 թվանշանը։ Ամբողջական պատասխանը բերված է նկարում։

2. Երեք գորտ հերթականությամբ թռան ճահճից: Յուրաքանչյուրը թռավ այնպես, որ ընկավ մյուս երկուսի միջև ընկած հատվածի մեջտեղում: Երկրորդ գորտ ցատկի երկարությունը 60սմ: Գտե՛ք երրորդ գորտի ցատկի երկարությունը:

Լուծում։

Ինչպես էլ դասավորված լինեին գորտերը, առաջինի (A) ցատկից հետո նրանք կհայտնվեն մի ուղղի վրա, ընդ որում առաջինը ցատկած գորտը կլինի երկրորդ՝ (B) և երրորդ՝ (C) գորտերի մեջտեղում` AB=AC:

Երկրորդ գորտը՝ B, ցատկում և իջնում է A և C գորտերի մեջտեղում՝ D կետ, AD=DC և BD=60: Հաշվի առնելով հատվածների միջև նշված հավասարությունները, կարող ենք գրել՝ AB=2AD և BD=3AD, որտեղից էլ AD=CD=20:

Երրորդ գորտը ցատկում և իջնում է AD հատվածի E միջնակետում։ Կստանանք, AE=ED=10 և երրորդ գորտի ցատկի երկարությունը կլինի 30:

3. 0-ից 9 թվանշանները ինչ-որ հերթականությամբ ծածկագրված են հետևալ տառերով՝
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J: Մեկ հարցով  կարելի է իմանալ ծածկագրված գումարի իրարից տարբեր տառերը։
Օրինակ, եթե հարցնենք, ինչի է հավասար «A + B» -ն, ընդ որում՝  A -9, B- 1, C-0, ապա  պատասխանը կլինի «A ​​+ B = BC»: Ինչպե՞ս կարելի  հինգ  հարցով  որոշել, թե ո՞ր տառերը ո՞ր թվանշաններին են համապատասխանում:

Լուծում։

Առաջին հարց

A+B+C+D+E+F+G+H+I+J-?

Գիտենք, որ այս գումարը հավասար է 45։ Այս մի հարցով կճշտենք ծածկագրիերից երկուսը։ Դիցուք, A=4, B=5:

Երկրորդ հարց

C+D+E+F+G+H+I+J-?

Այս գումարը կլինի 36։ Այս հարցով էլ կգտնեն 3 և 6 թվանշաններին համապատասխանող տառերը, դիցուք C=3, D=6

Երրորդ հարց

E+F+G+H+I+J -?

Այս գումարը ստացվելու է 27։ Այս հարցով կգտնենք  2 և 7 թվանշաններին համապատասխանող տառերը, դիցուք՝ E=2, F=7:

Չորրորդ հարց

G+H+I+J-?

Այս գումարը կլինի 18։ Այս հարցով կգտնենք  1 և 8 թվանշաններին համապատասխանող տառերը, դիցուք՝ G =1, H =8:

Հինգերորդ հարց

Հաշվենք

I+ G-?

Այս գումարը կարող է լինել․

• G, այս դեպքում I=0, J=9
• G J, այս դեպքում I=9, J=0

4. ABCD քառանկյան մեջ հայտնի, որ AB =BC= CD, <A =70 աստիճան, իսկ
<B= 100 աստիճան: Գտեք  անկյուն C  և անկյուն D-ի աստիճանային չափերը:

Լուծում։
ABC հավասարասրուն եռանկյան B գագաթից տանենք BF բարձրությունը։ Քառանկյան C գագաթից տանենք AD կողմին CE ուղղահայացը։ Միացնենք E և F կետերը։

ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ BAC և ACB անկյունները կլինեն 40⁰։ ACE ուղղանկյուն եռանկյան մեջ CAE անկյունը կլինի 30⁰, և ACE անկյունը՝ 60⁰։ CE=AC/2=CF։ Դիտարկենք BCF և CDE ուղղանկյուն եռանկյունները՝ BC=CD , CE=CF, հետևաբար այդ եռանկյունները հավասար են և քառանկյուն D անկյունը կլինի 50⁰։ Դժվար չէ հաշվելը, որ քառանկյան C անկյունը կլինի 140⁰։

Խնդիրներ «‎Քվանտ» ամսագրից էջ՝ 30:

 

Խաղ քարերով․ Սյուզի Հակոբյանը, Ավագ դպրոց

Համար 1 

Ունենք քարերի երկու կույտ,  յուրաքանչյուրում 7 քար և երկու խաղացող։ Խաղացողները հերթով յուրաքանչյուր քայլին  վերցնում են  ցանկացած քանակությամբ քարեր   կույտերից որևէ մեկից։ Այն խաղացողը,  ով չի կարողանում քայլ անել, պարտվում է։
Հարց։
Խաղը ճիշտ խաղալու դեպքում խաղացողներից ո՞վ կհաղթի։

Պատասխան։

Ենթադրենք, որ մեր երկու կույտերից յուրաքանչյուրը  ունեն մեկական քար։ Ակնհայտ է, որ ցանկացած խաղում հաղթելու է  երկրորդ խաղացողը : Իսկ եթե կույտերից մեկին ավելացնենք ավելի շատ քարեր, ապա առաջինը, ճիշտ խաղալով, կհաղթի, քանի որ նա կարող է մեկը վերցնել այն կույտից, որտեղ կա երկու քար և բերել վերը նկարագրված դիրքին, որում  հաղթողը  երկրորդն է։
օրինակ, եթե ​​կույտերում լինեն անհավասար քանակով քարեր՝  համապատասխանաբար 3 և 1, ապա առաջինը կհաղթի՝ առաջին կույտից վերցնելով երկու քար։Այսինքն՝ եթե կույտերում լինեն հավասար թվով քարեր, ապա նա, ով սկսում է առաջինը քայլը կատարել, միշտ պարտվելու է, քանի որ  երկրորդը հնարավորություն ունի  հավասարեցնել կույտերում քարերի քանակը, եթե կույտերում քարերի քանակը անհավասար է, ապա առաջին խաղացողը միշտ կհաղթի, այն պայմանով, որ նա ինքնուրույն կհավասարեցնի յուրաքանչյուր կույտի քարերի քանակը:

 

Համար 2

Ունենք  քարերի 3 կույտ` առաջինում 10 քար, երկրորդոմ `15,  երրորդում` 20  և երկու խաղացող։   Խաղացողը  իր քայլի ժամանակ կարող  է կույտերից միայն մեկը բաժանել բաժանել 2 փոքր կույտերի։ Պարտվում է նա, ով չի կարող է քայլ անել։
Հարց։ Խաղը ճիշտ խաղալու դեպքում ո՞ր խաղացողը կհաղթի։

Համար 3

Ունենք հիսուն քարից բաղկացած  քարերի կույտ և երկու խաղացող։ Երկու խաղացողներից յուրաքանչյուրը կարող է հանել  են 1-ից մինչև 5 քար։ Պարտվում է նա, ով չի կարող է քայլ անել։
Հարց։ Խաղը ճիշտ խաղալու դեպքում ո՞վ կհաղթի։
Աղբյուրը՝ Սյուզի Հակոբյանի բլոգ

Զգուշացեք, տոկոսներ են․ Գևորգ Հակոբյան

Պատահել է 8-րդ դասարանում մաթեմատիկայի դասի ժամանակ։ Մեր ուսուցիչ Իվան Պետրովիչը մեզ այսպիսի խնդիր հանձնարարեց՝

Ամանում կա ինչ որ նյութի 5լ 27%-անոց ջրային լուծույթ։ Ավելացրին 4լ ջուր։ Քանի՞ տոկոս է ստացված լուծույթի խտությունը։

Հետո ավելացրեց․ «Ո՞վ այս խնդիրը լուծի, կստանա գերազանց գնահատական։ Թղթի կտորի վա գրեք ձեր ազգանունը, պատասխանը և հանձնեք ինձ։ Քանի որ վերջին ժամն է, հանձնողները կարող են տուն գնալ։ Միայն՝ չշտապեք»։

Իհարկե՝ հաճելի է գերազանց գնահատական ստանալը, մանավանդ, որ նման խնդիրներ լուծել ենք։ Այնպես, որ շատ արագ Իվան Պետրովիչի սեղանին հայտնվեց թղթերի կույտ։ Բոլորը գնացին տուն, միայն Տոլիկ Վտուլկինը մնաց դասասենյակում։

Հաջորդ օրը պատահեց ամենահետաքրքիրը։ Իվան Պետրովիչը սկսեց․ «Դասարանում 19 հոգի եք, բայց ստացել եմ 18 թերթիկ։ Ինչպես խոստացել էի, նշանակում եմ գերզանց, բայց միայն մի հոգու՝ Տոլյա Վտուլկինին»։

Ինչպե՞ս թե։ Դասարանը աղմկեց։ Խնդիրը հեշտ էր, իրականում մեկ գործողությամբ՝ 0,27×5:(5+4)=0,15, հետևաբար՝ 15%։

-Շատ լավ, այդ դեպքում խոսքը Տոլիկին տանք – ասաց Իվան Պետրովիչը։

Ահա, թե ինչ լսեցինք։

-Մեր քիմիայի դասագրքի 125-րդ էջում գրված է․

Լուծված նյութի զանգվածի հարաբերությունը լուծույթի ընդհանուր զանգվածին, անվանում են լուծված նյութի զանգվածային մաս։ Նույն տեղում երկու օրինակ է բերված, որոնցում խոսքը գնում է հենց զանգվածի մասին։ Հաջորդ՝ 126-րդ էջում կարդում ենք ծավալային մասի մասին․

Զանգվածային մասի նմանությամբ սահմանվում է գազանման նյութի ծավալային մասը գազային խառնուրդում։

Ծավալի միավորները (լիտրեր և խորանարդ մետրեր) դասագրքում եկու տեղ է օգտագործված՝ գազային խառնուրդները նկարագրող օրինակներում։ Մեր խնդրում խոսքը գնում է 27 տոկոսանոց ջրային լուծույթի մասին, օրինակ աղաջրի կամ շաքարաջրի։ Նման հաշվարկներում աղի կամ շաքարի քանակը երբեք չեն արտահատում ծավալային միավորներով։ Միայն խոհարարական գրքերում է՝ վերցրեք մեկ գդալ աղ։ Մաթեմատիկան ճշգրիտ գիտություն է։

Թե ինչպես կարող ենք այդպիսի լուծույթ ստանալ, հայտնի է։ Պետք է վերցնել 27գ աղ և 73գ ջուր, կամ 27կգ աղ և 73կգ ջուր։ Կարելի է վերցնել նաև 2,7կգ աղ և 7,3կգ ջուր։ Խնդրի պայամանի համաձայն ունենք 5լ այդպիսի լուծույթ։ Քանի որ չգիտենք լուծույթի խտությունը, չգիտենք նաև նրա զանգվածը, հետևաբար չենք կարող որոշել նրանում լուծված աղի քանակը։

Իսկ ի՞նչ իմաստ ունի բերված լուծման մեջ 5+4=9 հավասարությունը, բացարձակապես՝ ոչ մի։ Խառնուրդի ծավալը հավասար չէ խառնվող լուծույթների ծավալների գումարին։ Նունն է, որ հարցնենք, թե ինչ կստանանք, եթե 5 խնձորին գումարենք 4 տանձ։ Հետևաբար խնդիրը կոռեկտ չէ ձևակերպված և լուծել հնարավոր չէ, և չարժե լուծել,- եզրափակեց Տոլիկը։

-Այ, այսպիսի ընկալման համար եմ Տոլիկին գերազանց նշանակում, – հպարտորեն հայտարարեց Իվան Պետրովիչը։
– Նրան քիմիայից էլ պետք է գերազանց նշանակել։ Ա․Պ․ Չեխովի մի պատմվածքում այսպիսի տող կա․ «Չգիտեմ, թե ո՞վ է գրել, իսկ ես՝ հիմարս, կարդում եմ»։ Այնպես որ, երեխաներ, ուշադիր եղեք։ Մի լուծեք թերություններով խնդիրներ։

Квант ամսագիր, 2022թ․, 5-րդ համար, էջ 31, թարգմանիչ՝ Գևորգ Հակոբյանը։

 

 

Խնդիրներ «Քվանտ» ամսագրից, Միջին դպրոց 7-րդ դասարան

1.Oգտագործելով երեք մեկ և երեք յոթ, ինչպես նաև թվաբանական գործողության նշաններ՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, գրի՛ր այնպիսի արտահայտություն, որի արժեքը լինի 2022։ Կարելի է  օգտագործել նաև աստիճան, բայց ոչ փակագիծ։

2.Սեղանին  դրված է 7 խնձոր (պարտադիր չէ, որ բոլորն էլ ունենան նույն զանգվածը): Տանյան կշեռքի մի նժարին դրեց 3 խնձոր,  իսկ մյուսին՝  4 խնձոր և կշեռքը հավասարակշռվեց։ Իսկ Սաշան մի նժարին  դրեց 2 խնձոր, իսկ մյուսին՝  5 խնձոր և  կշեռքը նորից հավասարակշռվեց։ Ապացուցեք, որ եթե մի նժարին դնենք մեկ խնձոր, իսկ մյուսին՝ երեք խնձոր, ապա կշեռքը  նորից կհավասարակշռվի։


3. Մի կղզում ապրում էին ազնիվներ, ստախոսներ և խորամանկներ. Բոլորը գիտեին միմյանց մասինթե ով ով է. Կղզու յուրաքանչյուր բնակչի խնդրեցին գրել, թե քանի ազնիվ մարդ կա. Ազնիվները պատասխանը ճիշտ  գրեցին, ստախոսները՝ սխալ, իսկ խորամանկները՝ ով ինչպես կարողացավ։ Յուրաքանչյուրը գրեց երկնիշ թիվ. Պարզվեց, որ թիվ 3 թվանշանը գրվել է 33 անգամ, 5 թվանշանը՝ 66 անգամ, իսկ 7 թվանշանը՝ 77 անգամ։ Այլ թվանշաններ  չեն գրվել։ Կղզում քանի՞ ազնիվ մարդ կա։

4. Խորանարդի յուրաքանչյուր նիստ՝ 3×3 չափի է, որը տրոհված է ինն միավոր քառակուսիների, որոնցից մի քանիսի վրա տարված է մեկ անկյունագիծ։ Արդյունքում ստացվել է շղթայական նախշ, այսինքն՝ յուրաքանչյուր անյունագծի մի ծայրը համընկել է  մյուս անկյունագծի մի ծայրի հետ։ Ամենշատ քանի՞ անկյունագիծ կարող էին տանել։