«Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիրում մարտ ամիսը նշանավորվեց որպես ստուգատեսային ամիս 9-րդ դասարանցիների համար։

Ստուգատեսի շրջանակում սովորողները կատարել են բազմաբնույթ գործունեություն մաթեմատիկա առարկայից՝  թարգմանություններ, անդրադարձ մաթեմատիկական ֆլեշմոբի խնդիրներին և դրանց լուծմանը։ Քննարկել են մոգական քառակուսիները, բացայատել են դրանց լուծման գաղտնիքները, լուծել են հավանականությունների տեսության ու վիճակագրության վերաբերյալ խնդիրներներ, կազմել են խնդիրներ տվյալ թեմաներով։  Այս ստեղծագործական և հետազոտական աշխատանքների ամփոփումն ենք ներկայացնում «Մաթեմատիկա» ամսագրի ութերորդ համարում։

 

 

«Մաթեմատիկա» ամսագրի ութերորդ համարի թողարկման պատասխանատու՝   Միջին դպրոց 9-րդ դասարան։

 

#Գլուխկոտրուկներ, թարգմանություն․ Լիանա Հակոբյան և ընկերներ

#Խնդիրներ փոքրերի համար, թարգմանություն․ Լիանա Հակոբյան և ընկերներ

#Ֆլեշմոբյանի խնդիրների քննարկում․ Անի Ավագյան և ընկերներ

# Մոգական քառակուսներ․ Մենուա Հարությունյան և ընկերներ

# Հավանականություն և վիճակագրության տարրեր․ Նելլի Ավանեսյան և ընկերներ

 

#Գլուխկոտրուկներներ
№1

Նկարում պատկերված ձյան փաթիլը ցանցի գծերով կտրեք այնպես, որ  բոլոր կտորները լինեն տարբեր երկրաչափական պատկերներ և յուրաքանչյուր կտոր պարունակի  ձյան մեկ փաթիլ։  Այս խնդիրն ամենևին էլ պարզ խնդիր չէ։ Լուծման ընթացքում նկարի կենտրոնական մասը կտրելիս փաթիլների պակասը խիստ զգացվում է և խնդիրը բավականին դժվարացնում է։

Աղբյուրը՝ «Քվանտ» ամսագիր, էջ 2.
Թարգմանեց Այվազյան Աննան, 9-1 դասարան

 

#Գլուխկոտրուկներ
№2

#Գլուխկոտրուկներ
№3

«Մաթեմատիկական գլուխկոտրուկներ» գրքի հեղինակ Մարտին Գարդները առաջարկել է հետևյալ խնդիրը. բաժանե՛ք տասներկու պենտամինոները երեք խմբի՝ յուրաքանչյուրում չորսական պենտամինո, այնուհետև գտե՛ք 20 վանդակ մակերեսով մի պատկեր, որը կարելի է ամբողջությամբ ծածկել յուրաքանչյուր խմբի չորս պենտամինոներով։ Պարզվում է՝ գոյություն ունի սիմետրիկ 20-վանդականոց պատկեր, որը հանդիսանում է հենց խնդրի լուծումը։ Այդպիսի երեք պենտամինոները իրար վրա դնելով՝ մենք կստանանք «եռաշերտ կարկանդակ»։ Որպեսզի խնդիրը դառնա գլուխկոտրուկ, երեքական պենտամինոներից բաղկացած հավաքածուները միացնենք պտուտակներով՝ ըստ նկարում նշված սխեմայի։

Կստանանք գլուխկոտրուկի չորս խաղային տարրեր.

Այս տարրերից անհրաժեշտ է հավաքել սիմետրիկ եռաշերտ պատկեր։ Քանի որ պենտամինոյի պատկերները կարող են պտտվել պտուտակների շուրջ, դրանք ստեղծում են փոխադարձ դիրքերի բազմաթիվ կոմբինացիաներ, ինչը զգալիորեն բարդացնում է գլուխկոտրուկը։ Այն հավաքելիս պետք է ոչ միայն գտնել յուրաքանչյուր պենտամինոյի տեղը «կարկանդակի» մեջ, այլև կարողանալ դրանք համապատասխանեցնել  միմյանց։

Աղբյուրը՝ «Քվանտ» ամսգաիր,, Էջ 2, 
Թարգմանեց՝ Ավետիսյան Հասմիկը, 9-1 դասարան

 

#Խնդիրներ փոքրերի համար
№1

Ցանի գծերով պատկերը կտրեք 11 հավասար պատկերների/ ձևով, մակերեսով հավասար/։

 

#Խնդիրներ փոքրերի համար
№2

Փոստային ինդեքսը բաղկացած է վեց թվանշանից, որոնք գծված են գծիկներով՝ վանդակների կողմերով կամ անկյունագծերով, ինչպես ցույց է տրված օրինակում։

Տանյան գրել է ինդեքսը, բայց միայն մեկ թվանշան է ճիշտ գրել,  երկու թվանշան գրելիս թույլ է տվել մեկական սխալ (այսինքն՝ մեկական գծիկ նկարել է ոչ ճիշտ տեղում), իսկ մնացած երեք թվանշանների մեջ՝ երկուական սխալ (այսինքն՝ երկուական գծիկ նկարել է ոչ ճիշտ տեղում)։ Գծիկների քանակը ամենուր ճիշտ է։ Նկարում պատրկերված է, որ նրա մոտ ստացվել է։ Ո՞րն էր ճիշտ ինդեքսը։

#Խնդիրներ փոքրերի համար
№3

Ունենք  ինը ձողիկ՝ երեքը կարմիր, երեքը դեղին, երեքը կանաչ։ Հայտնի է, որ տարբեր գույների ցանկացած երեք ձողիկներով կարելի է կազմել եռանկյուն։ Ամենաշատը քանի՞ եռանկյուն կարելի է ստանալ միագույն ձողիկներից։

#Խնդիրներ փոքրերի համար
№4

Փորձագետի և դատավորի առջև դրված են 20 կշռաքարեր, համապատասխանաբար՝ 10 գ, 11 գ, …, 29 գ զանգվածներով։ Փորձագետը գիտի յուրաքանչյուր կշռաքարը որքան է կշռում,  իսկ դատավորը գիտի յուրաքանչյուրի զանգվածը , բայց չգիտի, թե որ կշռաքարը որքան է կշռում։ Դատավորը հերթով վերցնում է յուրաքանչյուր կշռաքար և դնում կշեռքի նժարներից մեկի վրա, իսկ փորձագետը ի պատասխան պետք է վերցնի ինչ-որ երկու կշռաքար և դրանք նույնպես դնի կշեռքի վրա։ Կշռման արդյունքը գրանցվում է և կշռաքարերը հանվում են կշեռքից։ Կարո՞ղ է արդյոք փորձագետը գործել այնպես, որ 20 կշռումից հետո դատավորը իմանա բոլոր կշռաքարերի զանգվածները։

Աղբյուրը  «Քվանտ» ամսագիր, էջ՝ 29:
Խնդիրները թարգմանեց՝ Վաթյան Մարիան, 9-1 դասարան

#Ֆլեշմոբյանի խնդիրների քննարկում, Անի Ավագյան և ընկերներ

 

Անի Ավագյանը և 9-րդ դասարանի սովորողները ստուգատեսի շրջանակում քննարկել են  փետրվար ամսվա երրորդ մակարդակի խնդիրներ և յուրաքանչյուր խնդրի համար առաջարկել են հետևյալ լուծումը։

1)Տրված են հինգ տարբեր զանգված ունեցող կշռաքարեր, որոնցից յուրաքանչյուրի զանգվածը ամբողջ թիվ է։  Հայտնի է, որ երկու ամենածանր կշռաքարերը միասին կշռում են մնացած բոլոր կշռաքարերից երկու անգամ ավելի, իսկ երեք ամենածանր կշռաքարերը միասին կշռում են մնացած բոլոր կշռաքարերից ութ անգամ ավելի։ Գտնել բոլոր կշռաքարերի ընդհանուր զանգվածի հնարավոր ամենափոքր արժեքը։

Նշենք կշռաքարերի զանգվածները աճման կարգով՝ a < b < c < d < e, որտեղ բոլորն ամբողջ թվեր են։ Ըստ խնդրի պայմանների՝

d + e = 2(a + b + c)
c + d + e = 8(a + b)

Հանենք առաջինը երկրորդից․

(c + d + e) − (d + e) = 8(a + b) − 2(a + b + c)

c = 8(a + b) − 2(a + b + c)

c = 6(a + b) − 2c

3c = 6(a + b)

Նշանակենք՝ x = a + b, հետևաբար

c = 2x

Առաջին պայմանից՝

d + e = 2(a + b + c) = 2(x + 2x) = 6x

Ընդհանուր զանգվածը կլինի՝

a + b + c + d + e = x + 2x + 6x = 9x

Այսինքն՝ պետք է փոքրագույն x-ը գտնենք։

Քանի որ a < b և ամբողջ թվեր են, ապա ամենափոքր տարբերակն է՝

a = 1,  b = 2, հետևաբար x = 3

Այդ դեպքում՝

c = 2x = 6, d + e = 6x = 18

Պետք է ընտրենք d, e > 6, տարբեր և չկրկնվող թվեր, օրինակ՝

d = 7,  e = 11(կամ 8 և 10)

Բոլոր պայմանները բավարարվում են։

Ուրեմն՝ 9x = 9 ⋅ 3 = 27

Պատասխան՝ 27։

2)Արամը ունի հաստ և բարակ գրքեր, ընդ որում բոլոր հաստ գրքերը ունեն նույն հաստությունը, և բոլոր բարակ գրքերը նույնպես ունեն նույն հաստությունը։ Ունենք երեք կույտ, որոնցից յուրաքանչյուրում կա 5 գիրք, ունեն համապատասխանաբար 11 սմ, 35 սմ և 47 սմ հաստություն։ Ինչքա՞ն կարող է լինել 7 հաստ և 3 բարակ գրքերից կազմված կույտի հաստությունը։

Հաստ գրքի հաստությունը նշանակենք a սմ, բարակ գրքի հաստությունը` b սմ

Յուրաքանչյուր կույտում կա 5 գիրք, այսինքն`

xa + yb = կույտի հաստությունը, x + y = 5

Եթե վերցնենք տարբեր կույտերի տարբերությունները՝

35 – 11 = 24

47 – 35 = 12

47 – 11 = 36

Այս տարբերությունները պետք է լինեն a−b -ի բազմապատիկներ, քանի որ տարբերությունը առաջանում է հաստ ու բարակ գրքերի քանակների փոփոխությունից։ Ուրեմն՝ a – b = 12

Գտնենք a և b-ն՝

Օգտագործենք ամենափոքր կույտը՝

5b + k(a − b) = 11

Քանի որ a – b = 12 փորձենք՝

5b = 11

b = 2.2

Գրենք երեք կույտերը որպես՝

5b + t ⋅ 12

Ունենք՝ 11 = 5b + 0 ⋅ 12, b = 11/5 ​= 2.2

35 = 5b + 2 ⋅ 12 = 11 + 24

47 = 5b + 3 ⋅ 12 = 11 + 36

Ուրեմն ամեն ինչ համապատասխանում է, հետևաբար՝

b = 2.2

a = b + 12 = 14.2

7 հաստ և 3 բարակ գրքերից կազմված կույտի հաստությունը կլինի՝

7a + 3b = 7 ⋅ 14.2 + 3 ⋅ 2.2 = 99.4 + 6.6 = 106

Պատասխան՝․ 106:

3)Քանի՞ տարբեր եղանակով կարելի է 1, 2, 3, 4 թվերից  կազմել 6-ին պատիկ թիվ, եթե յուրաքանչյուր թվանշան կարելի է օգտագործել միայն մեկ անգամ կամ ընդհանրապես չօգտագործել։

6-ի պատիկ լինելու համար թիվը պետք է լինի՝ զույգ և թվանշանների գումարը բաժանվի 3-ի: Հնարավոր տարբերակներն են՝

1 + 2 + 3 = 6

2 + 4 = 6

2 + 3 + 4 = 9

Գրենք այս թվանշաններով կազմված թվերը՝

24, 42, 132, 312, 342, 432, 234, 324

Պատասխան՝ 8:

 

4)Տրված է բնական a թիվ, այնպես որ այն հավասար է երեք տարբեր պարզ թվերի գումարին, իսկ 7a -ն հավասար է նույն այդ երեք պարզ թվերի արտադրյալին։ Գտնել a թիվը։

Երեք տարբեր պարզ թվերը նշանակենք p, q, r։

Ըստ խնդրի պայմանի՝

a = p + q + r

7a = pqr

7(p + q + r) = pqr

Փորձենք 3, 5, 7 թվերը՝

Գումար՝ 3 + 5 + 7 = 15

Արտադրյալ՝ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105

7a = 7 ⋅ 15 = 105, համապատասխանում է:

Պատասխան՝ 15:

 

5)Աննան  թղթի վրա պատկերել է հավասարակողմ եռանկյուն՝ 8 սմ կողմով։ Այնուհետև նա եռանկյան յուրաքանչյուր կողմը բաժանել է 8 հավասար հատվածների։ Նա տարել է ուղիղներ՝ զուգահեռ սկզբնական եռանկյան բոլոր երեք կողմերին։ Մեկ սմ կողմով քանի՞ հավասարակողմ եռանկյուն ստացվեց։

Վերևի մասում կա 1 փոքր եռանկյուն (կողմը 1 սմ), հաջորդում՝ 3, հետո՝ 5 և այսպես շարունակ՝ յուրաքանչյուր շերտում ավելանում է 2-ով։

Այսինքն ստացվում է՝

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64

Պատասխան՝ 64:

 

6)5 տարվա ընթացքում ուսանողը հանձնել է 31 քննություն։ Ընդ որում ամեն տարի նա հանձնել է ավելի շատ քննություն,  քան  նախորդ տարի։ Հինգերորդ  կուրսում քննությունների քանակը երեք  անգամ ավելի էր, քան առաջինում։ Քանի՞ քննություն է նա հանձնել չորրորդ կուրսում։

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅

Ըստ խնդրի պայմանի a₅ = 3a₁

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + 3a₁ = 31

4a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 31

a₂, a₃ և a₄ – ի համար տեղադրելով տարբեր թվային արժեքներ, տեսնում ենք, որ տրված պայմանին բավարարում է a₁ = 3, a₂ = 4, a₃ = 7, a₄ = 8, a₅ = 9:

Հետևաբար, չորրորդ կուրսում ուսանողը հանձնել է 8 քննություն։

Պատասխան՝ 8:

7)Գտնել այն ամբողջ թիվը, որը քառակուսի է դառնում թե՛ այն 307-ով մեծացնելիս, և թե՛ այն 192-ով փոքրացնելիս։

Որոնվող թիվը նշանակենք x-ով՝

x + 307 = a²

x – 192 = b²

a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են։

Հանենք հավասարումները․

(x + 307) – (x — 192) = a² – b²

499 = a² – b²

(a — b)(a + b) = 499

499-ը պարզ թիվ է, հետևաբար հնարավոր է միայն՝

a — b = 1

a + b = 499

Լուծելով համակարգը, ստանում ենք a = 250

b = 249

Գտնենք x-ը՝ x = b² + 192 = 62193

Պատասխան՝․ 62193:

8)Թղթի թերթիկի վրա գրված է 5021972970 թիվը: Տիգրանը երկու անգամ կտրում է թերթիկն այնպես, որ ստանում է երեք թիվ: Ո՞րն է այն ամենափոքր գումարը, որը նա կարող է ստանալ՝ գումարելով այդ երեք թվերը:

Ամենափոքր գումարը կստացվի, եթե Տիգրանը բաժանի 502, 1972, 970 մասերի՝

502 + 1972 + 970 = 3444

Պատասխան՝ 3444:

9)Թաղամասի մի կողմում գտնվող 9 տները համարակալված են  հաջորդական  կենտ թվերով, իսկ նրանց  համարների գումարը կազմում է 423։ Գտնել այդ թաղամասի  հինգերորդ տան համարը։

Տների համարները կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա, որի տարբերությունը 2 է, իսկ գումարը՝ 423:

a₁, a₂, a₃, . . . , a₉

d = 2

S₉ = 423

9(2a₁ + 16)/2 = 423

a₁ + 8 = 47

a₁ = 39

Առաջին տան համարը ստացվեց 39, հինգերորդ տան համարը կլինի՝

a₅ = 39 + 8 = 47

Պատասխան՝․ 47:

10)Հաշվեք  հետևյալ արտահայտության արժեքը․

Նայենք զույգերով․

1000² − 999², 998² − 997²,…, 2² − 1²

Յուրաքանչյուր զույգի համար գործում է հետևյալ պայմանը՝

a² − (a − 1)² = 2a−1

1000² − 999² = 1999

998² − 997² = 1995

998² — 997² = 1995

996² − 995² = 1991

1999,1995,1991,…,3

Սա թվաբանական պրոգրեսի է (ամեն անգամ նվազում է 4-ով)։

Զույգ թվերը 500 հատ են, գումարը կլինի՝

500(1999 + 3)/2 = 500 ⋅ 2002 /2 = 500500

Պատասխան՝․ 500500:

 

# Մոգական քառակուսներ, Մենուա Հարությունյան և ընկերներ

Մենուա Հարությունյանը և 9-րդ դասարանի սովորողները ստուգատեսի շրջանակում փորձել են լուծել խնդիրներ մոգական քառակուսու վերաբերյալ, աղբյուրը՝ Գևորգ Հակոբյանի բլոգ։ 

3x3 չափսի մոգական քառակուսիներ

Առաջադրանք 1

Տրված է 3×3 չափսի աղյուսակ։ Պահնջվում է 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 թվերը մեկական այնպես տեղադրել աղյուսակի վանդակներում, որ յուրաքանչյուր տողում, յուրաքանչյուր սյունում և գլխավոր անկյունագծերում գրված թվերի գումարը  նույն թիվը ստացվի։

Առաջադրանք 2

Փորձեք կամայական իրար հաջորդող ինը բնական թվեր մեկական տեղադրել 3×3 չափսի աղյուսակի վանդակներում, որ վերևում բերված խնդրում ձևակերպված պահանջները բավարարվեն։

Ստուգեք, թե ձեր գտած հատկություններից որը տեղի ունի այս դեպքում։

Վարկած առաջ քաշեք աղյուսակին բնորոշիչ թվերի մասին՝ տողի, կամ սյան, կամ մեծ անկյունագծի վրա գրված թվերի գումարի և աղյուսակի մեջտեղի վանդակում գրված թվի մասին։

Փորձեք հիմնավորել, կամ ապացուցել ձեր վարկածը։

Արդյո՞ք միայն իրար հաջորդող ինը բնական թվերը կարելի է այդպես դասավորել։ Կազմեք օրինակ։

Ապացուցեք, որ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած ինը հաջորդական անդամներ կարելի է պահանջվող ձևով դասավորել։ Բերեք օրինակ։

Այդ ինը թվերի համար անհրաժե՞շտ պայման է թվաբանական պրոգրեսիայի հաջորդական անդամներ լիելը։

Մոգական քառակուսի(լայն իմաստով) n տողով անվանում ենք n² տարբեր բնական թվերից կազմված nxn չափսերով աղյուսակը, որում թվերը մեկական այնպես են տեղադրված վանդակներում, որ յուրաքանչյուր տողում, յուրաքանչյուր սյունում և գլխավոր անկյունագծերում գրված թվերի գումարը  նույն թիվն է ստացվում։

Կազմեք մոգական քառակուսի միայն կենտ թվերով։

Կազմեք մոգական քառակուսի միայն զույգ թվերով։

Միայն պարզ թվերով մոգական քառակուսու օրինակ։ Լրացրեք դատարկ վանդակները պարզ թվերով։

 

71	5
	59
		47

 

3×3 չափսի մոգական քառակուսի կազմելու հնարք

a+b	a-b-c	a+c
a-b+c	a	a+b-c
a-c	a+b+c	a-b

 

Ընռտրում ես a, b, c թվերը և լրացնում աղյուսակը։

Աշխատանքը Էվելինա Նաջարյանի էջում,  9-րդ դասարան,  աղբյուրը՝ Մենուա Հարությունյանի բլոգ։

 

# Հավանականություն և վիճակագրության տարրեր․ Նելլի Ավանեսյան և ընկերներ

Մաթեմատիկական ստուգատեսի շրջանակում Նելլի Ավանեսյանը և 9-րդ դասարանի սովորողները մարտ ամսին  անդրադարձ են կատարել հավանականությունների տեսության ու վիճակագրության թեմաներին։ Արդյունքում կազմել են 10 խնդիր, որոնք առաջարկում են լուծել  բոլոր 9-րդ դասարանցիներին։

1. Արամը մոռացել է իր հեռախոսի քառանիշ գաղտնաբառի վերջին թվանշանը, բայց հիշում է, որ այն կենտ թիվ էր։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նա առաջին իսկ փորձից կգուշակի ճիշտ թիվը և կբացի հեռախոսը։

2. Լամպեր արտադրող ընկերությունը պնդում է, որ իրենց արտադրանքի 95%-ը անխափան աշխատում է ավելի քան 2 տարի։ Եթե դուք գնեք 200 այդպիսի լամպ, վիճակագրորեն քանի՞ լամպի խափանում է հավանական սպասել երկու տարվա ընթացքում։

3. Օդերևութաբանական կայանը հայտնում է, որ շաբաթ օրը անձրև գալու հավանականությունը 40% է, իսկ կիրակի օրը՝ 50%։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այդ ողջ հանգստյան օրերին (և՛ շաբաթ, և՛ կիրակի) տեղումներ չեն լինի։

4. Աննան հետևել է իր սոցցանցի էջի հավանումներին (like)։ Շաբաթվա առաջին 6 օրերին նա ստացել է համապատասխանաբար 120, 150, 90, 200, 110 և 130 լայք։ Քանի՞ լայք պետք է նա ստանա 7-րդ օրը, որպեսզի շաբաթվա բոլոր օրերի համար ստացված լայքերի միջին թվաբանականը լինի ուղիղ 140։

5. Դարակում խառը լցված են 6 զույգ սպիտակ և 4 զույգ սև գուլպաներ (ընդհանուր 20  գուլպա)։ Մթության մեջ առնվազն քանի՞  գուլպա պետք է հանել, որպեսզի վստահ լինեք, որ ձեռքի տակ ունեք նույն գույնի գոնե մեկ զույգ (երկու հատ նույն գույնի գուլպա)։

6. Թեստը բաղկացած է 5 հարցից, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 3 պատասխան (որոնցից միայն մեկն է ճիշտ)։ Եթե սովորողը բոլոր հարցերի պատասխանները նշում է պատահականության սկզբունքով, որքա՞ն է հավանականությունը, որ նա բոլոր 5 հարցերին կպատասխանի սխալ։

7. Ավտոբուսը կանգառ է ժամանում յուրաքանչյուր 15 րոպեն մեկ։ Եթե դուք կանգառ եք հասնում պատահական ժամանակահատվածում, որքա՞ն է հավանականությունը, որ ստիպված կլինեք սպասել 10 րոպեից ավելի։

8. Ներդրողը դիտարկել է գնի տատանումները 5 օր շարունակ։ Գինը փոփոխվել է հետևյալ կերպ. +2%, -3%, +1%, +5%, -2% (նախորդ օրվա համեմատ)։ Գտեք այս տոկոսային տվյալների շարքի լայնքը և մեդիանը։

9. Խաղի ժամանակ նետում են երկու ստանդարտ զառ (1-6 թվանշաններով)։ Խաղացողը հաղթում է, եթե բացված թվերի գումարը պարզ թիվ է։ Որքա՞ն է հաղթելու հավանականությունը (նշեք բոլոր հնարավոր ելքերը և բարենպաստների քանակը)։

10. Դպրոցում անցկացված հարցման արդյունքում պարզվել է, որ 100 սովորողից 60-ը սիրում է պիցցա, 45-ը՝ սենդվիչ, իսկ 20-ը սիրում է և՛ պիցցա, և՛ սենդվիչ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահական ընտրված սովորողը չի սիրում այդ երկու ուտեստներից և ոչ մեկը։