Թողարկում. #59

Այս համարում ներառված են հետևյալ նյութերը.

  • «Ի՞նչ է մաթեմատիկան» -Սյուզի Հակոբյան և ընկերներ
  • «Ի՞նչ է մաթեմատիկան» -Լիանա Հակոբյան և ընկերներ
  • Ինչպես ձողիկներով պատրաստել խորանարդ -Կարեն Մարգարյան
  • Մաթեմատիկական ֆլեշմոբի խնդիրների լուծումները  տեսանյութերով-Միջին դպրոցի սովորողներ
  • «Ամենապարզ, անհնարին»  խնդիրը – Հերմինե Անտոնյան և Արտաշես Գրիգորյան

«Ի՞նչ է մաթեմատիկան» -Սյուզի Հակոբյան և ընկերներ

Ավագ դպրոցի մաթեմատիկա դասավանդող Սյուզի Հակոբյանը և ընկերները տեսանյութ են պատրաստել «Ի՞նչ է մաթեմատիկան» վերնագրով: Հարցազրույցն վարում են Ավագ դպրոցի սովորողներ՝ Շուշան Փաշայանը և Իլոնա Սահակյանը:

«Ի՞նչ է մաթեմատիկան» -Լիանա Հակոբյան և ընկերներ

Միջին դպրոցի դասավանդող Լիանա Հակոբյանը և ընկերները տեսանյութ են պատրաստել  «Ի՞նչ է մաթեմատիկան» վերնագրով: Հարցազրույցը վարում են  Էմմա  Ազարումյանը, Դավիթ Մուրադյանը, Մարգարիտա Մութաֆյան, Աշոտ Գրիգորյանը:

 

Ինչպես ձողիկներով  պատրաստել խորանարդ 

Ավագ դպրոցի սովորող Կարեն Մարգարյանը ներկայացնում է, թե ինչպես կարելի է  պատրաստել խորանարդ ձողիկների օգնությամբ:
Աղբյուրը տե՛ս այստեղ:

 


Մաթեմատիկական ֆլեշմոբի խնդիրների լուծումները  տեսանյութերով

1.Ճանճը ունի 6 ոտք, սարդը՝ 8 ոտք: 3 ճանճը և 2 սարդը միասին ունեն այնքան ոտք, որքան ոտք ունեն 9 հավը և քանի՞ կատուն:
Արեգ Հարությունյան, 6-4 դասարան

2.  1000 կգ ցորենից ստացվում է 210 կգ բարձրորակ ալյուր: Քանի՞ կգ ցորեն է անհրաժեշտ 42 կգ ալյուր ստանալու համար:
Միքայել Հովհաննիսյան, 6-4 դասարան

 

3.  Մայրիկը սեղանին թողել էր 9 կտոր շոկոլադ և յուրաքանչյուր 30 րոպեն մեկ երեխային թույլ էր տվել ուտել միայն մեկ կտոր։ Առաջին կտորն ուտելուց քանի՞ ժամ անց կվերջանան շոկոլադի կտորները, եթե երեխան լսի իր մայրիկին և միանգամից չուտի ամբողջ շոկոլադը:

Մանանա Առաքելյան, Ադրիանա Յալոյան

 

4. Երկու հաջորդական կենտ թվերի արտադրյալը հավասար է 143: Գտե՛ք այդ թվերի գումարը:
Մարիա Մելոյան, Ռուզան Տոգրամաջյան

5. Գտե՛ք այն երկնիշ թվերի քանակը, որոնց միավորը մեծ կամ հավասար է տասնավորին։
Եվա Արտաշեսյան, Արտյոմ Ղազարյան-6-5 դասարան

 

6. Ձեռքի գնդակի մրցաշարում չորս մարզիկներ խփել են տարբեր քանակի գոլեր: Չորս մարզիկներից ամենաքիչ գոլ խփել է Մեսրոպը: Մյուս երեք մարզիկները միասին խփել են 20 գոլ: Ամենաշատը քանի՞ գոլ կարող էր խփել Մեսրոպը:
Միսաք Մինասյան, Աշոտ Չարչյան, Դավիթ Տոգրամաջյան, Գագիկ  Ղազարյան-6-2,6-5 դասարան

 

 «Ամենապարզ, անհանրին»  խնդիրը

Ավագ դպրոցի դասավանդող Հերմինե Անտոնյանը և Արտաշես Գրիգորյանը ներկայացնում են մի խնդրի պատմություն: Նյութի աղբյուրը տես այստեղ:
Քալլոթցի խնդիրը: Վերցրեք ցանկացած թիվ, եթե այն ​​զույգ է, ապա բաժանեք երկուսի: Եթե այն ​​կենտ է, բազմապատկեք երեքով և ավելացրեք մեկ: Կրկնեք: Արդյո՞ք բոլոր թվերն են, որ այդքան գործողություններից հետո արդյունքում կստացվի մեկ: 

Քոլլաթցի վարկածը, անշուշտ, մաթեմատիկայի չլուծված խնդիրներից ամենապարզն է, հենց դա էլ նրան դարձնում է այդքան  գրավիչ: «Սա շատ վտանգավոր խնդիր է։ Լինելով այն անհնարին, մարդիկ տարվում են դրանով», — ասում է Միչիգանի համալսարանի մաթեմատիկոս, Քոլլաթցի վարկածի փորձագետ՝ Ջեֆրի Լագարիասը:

Բայց 2019-ին աշխարհի լավագույն մաթեմատիկոսներից մեկը համարձակվեց մոտենալ դրան և ստացավ ամենալավ արդյունքը: Այս մի քանի տասնամյակների ընթացքում այդպիսի արդյունքի դեռ ոչ մեկ չէր հասել:

2019 թվականի սեպտեմբերի 8 -ին Տերենս Տաոն հրապարակեց ապացույց, որը ցույց էր տալիս, որ Քոլաթցի վարկածը «գրեթե» բոլոր թվերի համար «համարյա թե» ճիշտ է: Ու թեև Տաոյի արդյունքը վարկածի ամբողջական ապացույց չէ, այն շատ լուրջ առաջընթաց է Քոլլաթցի խնդրի համար, որն այնքան էլ հեշտությամբ չի բարձրաձայնում իր բոլոր գաղտնիքները։

«Ես չէի սպասում, որ ամբողջությամբ կլուծեմ խնդիրը», — ասում է Լոս Անջելեսի՝ Կալիֆորնիայի համալսարանի մաթեմատիկոս Տաոն: «Բայց ես արեցի ավելին, քան սպասում էի»:

Քոլլաթցի հանելուկը

Լոթար Քոլլաթցը, հավանաբար, առաջ է քաշել համանուն վարկածը 1930-ականներին։ Հանելուկը կարծես գիշերային հավաքույթների համար նախատեսված ֆոկուս է: Վերցրեք ցանկացած թիվ, եթե այն ​​զույգ է, ապա բաժանեք երկուսի: Եթե այն ​​կենտ է, բազմապատկեք երեքով և գումարեք մեկ: Ստացվելու է նոր թիվ: Կիրառեք նույն կանոնները այդ թվի համար: Վարկածը մեզ ասում է այն բանի մասին, թե ինչ կլինի, եթե մենք համառորեն կրկնենք այս գործընթացը:

Ինտուիցիան հուշում է, որ մեկնարկային թիվը ազդում է վերջնական արդյունքի վրա։ Հնարավոր է որոշ թվեր նվազեն մինչև 1-ի: Հնարավոր է նաև, որ կլինեն թվեր, որոնք կբարձրանան մինչև անվերջության:

Այնուամենայնիվ, Քոլաթցը կանխատեսեց, որ դա այդպես չէ: Նա ենթադրեց, որ եթե սկսեք դրական ամբողջ թվից և կրկնեք նշված հաջորդականությունը բավական երկար, ապա ցանկացած թվից կհասնեք 1-ի: Իսկ հասնելով մեկին, դուք կնկնեք այս վարկածի կանոնների թակարդում կամ մի անվերջ ցիկլում՝ 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1 և այլն, մինչև անվերջություն:

Տարիներ շարունակ շատ պրոբլեմասերների է քաշել Քոլլաթցի վարկածի կամ ինչպես նրան այլ կերպ կոչում են՝ «3x + 1 խնդրի» գրավիչ պարզությունը: Մաթեմատիկոսներն արդեն ստուգել են քվինտիլիոն օրինակներ (սա 18 զրո ունեցող թիվ է)՝ չգտնելով ոչ մի բացառություն Քոլլաթցի կանխատեսումից: Դուք ինքներդ կարող եք փորձել ստուգել մի քանի օրինակներ ինտերնետում առկա բազմաթիվ «Քոլլաթց հաշվիչներից» որևէ մեկի միջոցով: Համացանցը լի է վարկածի անհիմն սիրողական ապացույցներով, որոնց հեղինակները պնդում են, որ կարողացել են ապացուցել կամ հերքել այն։

«Դուք միայն պետք է իմանաք, թե ինչպես բազմապատկել 3-ով և բաժանել 2-ով, և դուք արդեն կարող եք սկսել խաղալ նրա հետ: Եվ դա շատ գայթակղիչ է», — ասում է Գրինել քոլեջի մաթեմատիկոս Մարկ Չեմբերլենդը, ով խնդրի մասին YouTube-ում տեսագրել է հանրահայտ տեսանյութ, որը վերնագրված է՝ «Ամենապարզ անհնարին խնդիրը»:

Ճշմարիտ ապացույցները քիչ են:

1970-ականներին մաթեմատիկոսները ցույց տվեցին, որ գրեթե բոլոր Քոլլաթցի հաջորդականությունները՝ թվերի ցանկը, որը դուք ստանում եք կրկնելով գործընթացը, ավարտվում են սկզբնական թվից փոքր թվով: Քիչ ապացույցներ կային, որ գրեթե բոլոր Քոլլաթցի հաջորդականությունները հանգեցնում են 1-ի, բայց, այնուամենայնիվ, դա այդպես է: Իսկ 1994 թվականից մինչև 2019 թվականին Տաոյի ստացած արդյունքը, Իվան Կորեցը նվազագույն արժեքի ցուցադրման մեջ ռեկորդակիրն էր։

«Մենք իրականում բավականաչափ լավ չենք հասկանում Քոլլաթցի հարցը, այդ պատճառով էլ այս հարցի վերաբերյալ աշխատանքներ չեն եղել», — ասում է Սթենֆորդի համալսարանի մաթեմատիկոս Կաննան Սաունդարաջանը, ով աշխատել է վարկածի վրա:

Այս փորձերի ապարդյունությունը շատ մաթեմատիկոսների հանգեցրել է այն եզրակացության, որ այս վարկածը պարզապես հասանելի չէ գիտելիքների ներկա մակարդակում, և որ ավելի լավ է իրենց ժամանակը ծախսեն այլ ուսումնասիրությունների վրա:

«Քոլլաթցի խնդիրը հայտնի է իր բարդությամբ այնքան, որ մաթեմատիկոսները սովորաբար յուրաքանչյուր քննարկումը սկսում են նախազգուշացմամբ, որ դրա վրա շատ ժամանակ չկորցնեն», — ասում է Ջոշուա Կուպերը Հարավային Կարոլինայի համալսարանից:

Անսպասելի խորհուրդ

Որպես ուսանող, առնվազն 40 տարի առաջ, այս վարկածով ամենաառաջինը հետաքրքրվել է Լագարիասը: Տասնամյակներ շարունակ նա եղել է նրա հետ կապված ամեն ինչի ոչ պաշտոնական կուրատորը։ Այս հարցին վերաբերվող աշխատանքներով նա մի մեծ գրադարան էր հավաքել: 2010-ին նա դրանցից մի քանիսը հրատարակեց  «Վճռական մարտահրավեր. 3x + 1 խնդիրը» վերնագրով գրքում:

«Այժմ ես շատ ավելին գիտեմ այս խնդրի մասին, և դեռ կարող եմ ասել, որ այն լուծելն անհնար է», — ասաց Լագարիասը:

Տաոն սովորաբար իր ժամանակը չի վատնում անհնարին գործերի վրա։ 2006 թվականին նա ստացել է Ֆիլդսի մրցանակը, որը մաթեմատիկայի ոլորտում բարձրագույն պարգևն է: Նա նաև համարվում է իր սերնդի լավագույն մաթեմատիկոսներից մեկը։

«Սրանք այն ռիսկերն են, որոնք կապված են մաթեմատիկոս լինելու հետ», — ասաց նա: «Դուք կարող եք տարված լինել հայտնի մեծ գործերից մեկով, որը դուրս է ցանկացած մարդու հնարավորություններից»:

Սակայն Տաոյին միշտ չէ, որ հաջողվում է դիմակայել այս տարածքի գայթակղություններին։ Ամեն տարի նա մեկ-երկու օր է ծախսում մաթեմատիկայի ամենահայտնի չլուծված խնդիրների վրա։ Տարիների ընթացքում նա մի քանի մոտեցումներ արեց Քոլլաթցի վարկածին, բայց ապարդյուն։

Այնուհետեւ օգոստոսին մի անանուն ընթերցող մեկնաբանություն թողեց Տաոյի բլոգում: Նա առաջարկեց փորձել լուծել Քոլլաթցի վարկածը «գրեթե բոլոր» թվերի համար, չփորձելով այն ամբողջությամբ ապացուցել։

«Ես չպատասխանեցի, բայց դա ինձ ստիպեց նորից մտածել այս առաջադրանքի մասին», — ասաց Տաոն:

Եվ նա հասկացավ, որ Քոլլաթցի վարկածը ինչ-որ առումով նման է հավասարումների հատուկ տեսակների՝ մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների, որոնք հայտնվել են իր կարիերայի ընթացքում ձեռք բերած ամենակարևոր արդյունքների շնորհիվ:

Մուտքեր-ելքեր

Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները(ՄԱԴՀ) կարող են օգտագործվել տիեզերքի ամենահիմնական ֆիզիկական պրոցեսներից շատերի մոդելավորման մեջ, ինչպիսիք են օրինակ՝ հեղուկների էվոլյուցիան կամ գրավիտացիոն ալիքների անցումը տարածաժամանակում: Նրանք հայտնվում են այնպիսի իրավիճակներում, երբ համակարգի ապագա դիրքը, օրինակ՝ լճակի վիճակը քարը նետելուց հինգ վայրկյան հետո, կախված է երկու կամ ավելի գործոնների ներդրումից, ինչպիսիք են մածուցիկությունը և ջրի արագությունը:

Թվում է, որ բարդ ՄԱԴՀ-ները քիչ ընդհանրություններ ունեն այնպիսի պարզ թվաբանական հարցի հետ, ինչպիսին է Քոլլաթցի ենթադրությունը:

Բայց Տաոն հասկացավ, որ նրանք ընդհանուր բան ունեն: ՄԱԴՀ-ում դուք կարող եք փոխարինել արժեքները, ստանալ այլ արժեքներ, կրկնել պրոցեսը և այս ամենը նրա համար, որպեսզի հասկանալ, թե ինչպիսին է համակարգի ապագա վիճակը: Յուրաքանչյուր տրված ՄԱԴՀ-ի համար մաթեմատիկոսները պետք է իմանան, թե մուտքի սկզբնական արժեքները կհանգեցնեն ելքի անվերջական արժեքների, թե՞ հավասարումները միշտ կվերադարձնեն վերջնական արժեքները, անկախ սկզբնականներից:

Տերենս Տաոն, տասնամյակների ընթացքում՝ ոգեշնչված իր բլոգում արված մեկնաբանություններից, Քոլլաթցի վարկածի վերաբերյալ ամենամեծ առաջընթացն է գրանցել:

Տաոյի համար այս նպատակը նույն արժեքն ուներ, ինչքան այն, թե արդյոք դուք միշտ Քոլլաթցի վարկածից, անկախ սկզբնական արժեքից, նույն արժեքը (1) կստանաք: Արդյունքում նա հասկացավ, որ ՄԱԴՀ-ի ուսումնասիրության տեխնիկան կարող է հարմար լինել Քոլլաթցի վարկածի ուսումնասիրության մեջ։

Քոլլաթցի վարկածի համատեքստում, ենթադրենք, որ մենք սկսել ենք մեծ թվերի ընտրացուցակից: Մեր նպատակն է՝ ուսումնասիրել, թե ինչպես են այդ թվերը իրենց դրսևորում, երբ մենք նրա վրա կիրառում ենք Քոլլաթցի պրոցեսը: Եթե մեր ընտրած թվերի մոտավորապես 100%-ը հանգում են մեկի կամ էլ մեկին շատ մոտ թվի, ապա կարելի է եզրակացնել, որ նույն պատմությունը կատարվելու է բոլոր թվերի հետ:

Բայց որպեսզի մեր եզրակացությունը լինի հիմնավորված, մենք պետք է շատ մանրակրկիտ կազմենք մեր ընտրացուցակը: Այս խնդիրը նման է ԱՄՆ-ի նախագահի ընտրությունների ժամանակ ընտրողների ցուցակի կազմելուն։ Ճշգրիտ ընտրացուցակ կազմելու համար ամբողջ պոպուլյացիայից պետք է կիրառել կշռված համամասնություններ և՛ հանրապետականների համար , և՛ դեմոկրատների , և՛ տղամարդկանց , և կանանց և այլն:Թվերն ունեն իրենց «ժողովրդագրական» պարամետրերը։ Կենտ և զույգ թվեր, թվեր, որոնք բաժանվում են 3-ի և թվեր, որոնք նույնիսկ տարբերվում են իրարից ավելի խորամանկ ձևերով: Ստեղծելով թվերի ընտրացուցակ, դուք կարող եք այն դարձնել այնպես, որ այն ներառի տարբեր տեսակների թվեր` չներառելով մյուսները, ըստ կշիռների սկզբունքի` ինչքան ճիշտ լինի ձեր վերցրած կշիռը, այդքան ավելի ճշգրիտ կլինեն ձեր արած եզրակացությունները ընդհանուր թվերի վերաբերյալ:

Կշռված ընտրություն

Տաոյի առաջադրանքը ավելի բարդ էր, քան ուղղակի պարզել, թե ինչպես է պետք ստեղծել սկզբնական ընտրացուցակի համար նախատեսված ճշգրիտ կշռված թվերը: Երբ աշխատում ես Քոլլաթցի պրոցեսի հետ, քո օգտագործած թվերը ամեն քայլի փոփոխվում են: Միակ ակնհայտ փոփոխությունը այն է, որ համարյա բոլոր թվերը գնալով փոքրանում են:

Մեկ այլ, գուցե ավելի քիչ ակնհայտ փոփոխությունն այն է, որ թվերը կարող են խմբավորվել: Օրինակ, դուք կարող եք սկսել մեկից մինչև միլիոն թվերի գեղեցիկ հավասարաչափ բաշխմամբ: Բայց հինգ իտերացիաներից(կրկնություն, որը օգտագործվում է մաթեմատիկայի մեջ) հետո, թվերը հնարավոր է, կենտրոնանան մի քանի փոքր միջակայքերի վրա: Այսինքն՝ կարելի է սկսել լավ ընտրացուցակից, որը հինգ քայլից հետո կաղավաղվի:

-Սովորաբար, կարելի է ակնկալել, որ ինտերացիայից հետո բաշխումը սկզբնականից ամբողջովին տարբերվելու է, -ասում է Տաոն: Այնուամենայնիվ, նրա հիմնական գաղափարն այն էր, թե ինչպես կարելի է ստեղծել մի թվերի ընտրացուցակ, որը Քոլլաթցի պրոցեսում մեծամասամբ կպահպանի իր սկզբնական արժեքները:

Օրինակ, Տաոյի սկզբնական ընտրացուցակը այնպես է կշռված, որ այն չունի երեքի բաժանվող թվեր, քանի որ Քոլլաթցի պրոցեսը բավականին արագ վերացնում է այդպիսի թվերը: Տաոյի ընտրած որոշ այլ կշիռներ ավելի բարդ են։ Նա նախընտրում է այն թվերը, որոնց մնացորդը 3-ի բաժանելիս 1 է, և հեռու է մնում այն թվերից, որոնց մնացորդը 3-ի բաժանելիս 2 է:

Արդյունքում, նա գտավ մի մեթոդ շարունակելու պրոցեսը այնպես, որ անգամ մի քանի քայլից հետո հասկանալի լինի, թե ինչ է կատարվում, -ասում է Սաունդառարաջանը, -Երբ ես առաջին անգամ տեսա այդ աշխատանքը, ես շատ ուրախացա և որոշեցի, որ այն հիանալի է:

Տաոն օգտագործեց իր կշռման տեխնիկան ապացուցելու համար, որ գրեթե բոլոր սկզբնական արժեքները՝ առնվազն 99%-ը, ավարտվում են մեկին շատ մոտ մեծությամբ: Սա թույլ տվեց նրան եզրակացնել, որ սկզբնական արժեքների 99%-ը, որոնք գերազանցում են կվադրիլիոնը, ի վերջո հանգեցնում են 200-ից փոքր մեծությունների:

Այս վարկածի երկար պատմության մեջ սա, հնարավոր է, ամենաուժեղ արդյունքն է:

-Սա մեր գիտելիքների ամենամեծ առաջընթացն է այն մասին, թե ինչ է կատարվում այս խնդրի հետ, — ասում է Լագարիասը, — երկար ժամանակի ընթացքում, սա միանշանակ լավագույն արդյունքն է:

Տաոյի մեթոդը անկասկած չի կարողանում հասնել Քոլլաթցի վարկածի ամբողջական ապացույցին: Պատճառն այն է, որ նրա սկզբնական ընտրացուցակը մեկ է ամեն քայլից հետո աղավաղվում է: Աղավաղումը կլինի մինիմալ, քանի դեռ ընտրացուցակում պարունակվում են տարբեր արժեքներ, որոնք հեռու են մեկից: Բայց Քոլլաթցի պրոցեսում ընտրացուցակի բոլոր թվերը ձգտում են մեկի, և մի փոքրիկ աղավաղումը դառնում է ավելի մեծ, ճիշտ այնպես, ինչպես օրինակ՝ քվեարկությունների արդունքի հաշվարկում մեծ ընտրացուցակում դեր չխաղացող մի փոքրիկ սխալը, երբ մեր ընտրացուցակը, եթե լիներ փոքր, այդ փոքրիկ սխալը շատ մեծ դեր կխաղար արդյունքի վրա:

Ամբողջական վարկածի ցանկացած ապացույց, հավանաբար, հիմնված կլինի այլ մոտեցման վրա: Արդյունքում, Տաոյի աշխատանքը և՛ հաղթանակ է, և՛ նախազգուշացում բոլորին, ովքեր հետաքրքրված են. հենց որ կարծում եք, որ խնդիրը լուծել եք և նրան հանգեցրել եք մի անկյան՝ չեք էլ նկատում, թե ինչպես է այդ խնդիրը անկյունից դուրս գալիս ու նորից գլուխ բարձրացնում:

-Դուք կարող եք մոտենալ Քոլլաթցի վարկածին այնքան, որքան ցանկանում եք, բայց այն մեկ է կմնա անհասանելի, — նշում է Տաոն:

 

 

Leave a Reply

Skip to toolbar