Հատուկ թողարկումը սիրով նվիրում ենք ՀՀ հեղինակային կրթության հիմնադիր տիար Բլեյանի ծննդյան 65 ամյակին:

Համարում  ներառված են հետևյալ նյութերը.

• Նախորդ թողարկումներից  սովորողների  արձագանքը
• Սեղանի խաղ՝ Cheq point
• Երկրաչափական խաղ-փազլ
• Մաթեմատիկական խաղեր
• Մաթեմատիկական վիկտորինաներ
• Տեղեկություններ Դիոֆանտի մասին, երկու անհայտով մեկ հավասարման լուծումը
• Հնդիկ մաթեմատիկոսի առեղծվածային կյանքը
• Գիտե՞ս որ  …
• Պարզ թվեր, տեսակները
• Խնդիների թարգմանություն «Քվանտ» ամսագրից

 

Նախորդ թողարկումներից  սովորողների  արձագանքը

Արտակարգ սեպտեմբերի մեկը դիմավորեցինք մի խումբ սովորողների հետ, Միջին դպրոցի փառատոնյան պուրակում:  Սովորողները  Մաթեմատիկական ամսագրի նախորդ համարներից  ընտրեցին   մի քանի բակային խաղեր, գլուխկոտրուկներ, որոնք  միասին խաղացինք, քննարկեցինք, վերլուծեցինք: Ընթացքը ստորև  տեսանյութում:

 

Աղբյուրը՝ Միջին դպրոցի դասավանդող   Լիանա Հակոբյան բլոգ:

***

Միջին դպրոցի սովորող Անահիտ Վերմիշյանը անդրադառնելավ ամսագրի սեղանի խաղերին, առաջարկում է լուծել՝

Սեղանի խաղ՝ Cheq point

 

 

 

 

 

Այս գլուխկոտրուկի հեղինակը գերմանացի գյուտարար  Դեթերն Մաթհեսն է (Dieter Mathes ): Գլուխկոտրուկի անգլերեն անվանումը՝  Chek Point է,  հայերեն կարելի է  թարգմանել  որպես Կառավարման կետ:  Խաղում այդ կետերի թիվը 16-ն է, տես նկարը:

Խաղը կազմված է քառակուսի քարտերից   կամ քառակուսի փայտիկներից, որոնք դասավորված են դաշտի ծայրերում, (տես նկարը) ընդհանուր թվով 16 հատ, որոնցից կեսի վրա նշված է սպիտակ կիսաշրջաններ, իսկ մյուս կեսի վրա կարմիր կիսաշրջաններ: Կախված այդ փայտիկների դասավորությունից, գլուխկոտրուկն ունի  բազում լուծման տարբերակներ: Ամեն ուղղանկյուն ունի երկու դատարկ կողմ, իսկ մյուս երկուսում նկարված են կիսաշրջաններ` կարմիր և սպիտակ:

 

Պահանջվում է դասավորել խաղադաշտի ներքին տիրույթը՝ 4×4  քառակուսի փայտիկներով, այնպես որ դաշտում առաջանան միագույնի շրջաններ: Քառակուսի տախտակների վրա կա ընհանուր թվով կարմիր և սպիտակ քսան կիսաշրջան: Գլուխկոտրուկը շատ հեշտ կարելի է պատրաստել տան պայմաններում` օգտագործելով ստվարաթուղթ կամ տախտակ: Իրականում դուք կստեղծեք ավելի շատ գլուխկոտրուկներ, որովեհտև փայտիկների   տարբեր դասավորության դեպքում  ստեղծվում են նոր առաջադրանքներ: Պարզ է, որ ոչ բոլորն են լուծվում: Եթե օրինակ դաշտի անկյունում թողնենք միայն սպիտակ կիսաշրջաններ, այդ դեպքում քառակուսի տախտակները ուղղակի չեն բավարարի: Մենք ցույց ենք տալիս ընդամենը երեք սկզբնական տարբերակներ: Բայց դուք կարող եք փորձարկել նաև ուրիշ   տարբերակներ:
Ցանկանում ենք ձեզ հաջողություն :

Խաղի պատրաստման եղանակը, ընթացքը ներկայացնում է Միջին դպրոցի սովորող՝ Կարեն Մարգարյանը, 8-րդ դասարան:

Աղբյուրը տես այստեղ:

 

Երկրաչափական խաղ-փազլ

Արևմտյան դպրոցի դասավանդող Գրետա Բակունցը  առաջարկում  է երկրաչափական խաղ-փազլ   տարատարիք երեխաների համար:   Խաղի հարցերը  տե՛ս հղումով:

 

 

Մաթեմատիկական խաղեր

Հյուսիսային դպրոցի դասավանդող Անի Միրզոյանն առաջարկում հետևյալ մաթեմատիկական խաղը տարատարիք սովորողների համար:

 

  Մաթեմատիկական խաղ-վիկտորինաներ

Միջին դպրոցի դասավանդողներ Արշակ Մարտիրոսյանը, Մենուա Հարությունյանը և սովորողներն  առաջարկում են  հետևյալ վիկտորինաները տարատարիք սովորողների համար: Հարցերը տես հղում 1, հղում 2:

Գիտե՞ս որ…

Գիտե՞ս որ շարքը համալրել է Զարիեն Փանյանը:

Ռուբիկի խորանարդ (Ռուբիկ–կուբիկ), եռաչափ մեխանիկական գլուխկոտրուկ-խորանարդ, որն ստեղծվել է 1974 թվականին` հունգարացի քանդակագործ և ճարտարապետության դոկտոր-պրոֆեսոր Էռնյո Ռուբիկի  կողմից։

Սկզբնական շրջանում խորանարդը կոչվել է կախարդական խորանարդ։ 1980 թվականին Ռուբիկի կողմից ստանալով արտոնագիր՝ ամերիկյան “ Ideal Toy Company” խաղալիքներ պատրաստող ձեռնարկությունը ձեռնամուխ է լինում ռուբիկ-կուբիկներ արտադրելու գործընթացին, իսկ որոշ ժամանակ անց խաղալիքը Գերմանիայում մրցանակ է շահում` տարվա լավագույն գերմանական խաղ։ 2009 թվականի հունվարի դրությամբ աշխարհում վաճառվել են 350 միլիոն օրինակ Ռուբիկի խորանարդներ, ինչի համար էլ այն դարձել է համար մեկ խճանկարային խաղը և ընդհանրապես՝ համար 1 խաղալիքն աշխարհում։ Պարզվում է այս խաղալիքով հնարավոր գործողությունների ընդհանուր թիվը՝  43252003274489856000:

 

Տեղեկություններ Դիոֆանտի մասին, երկու անհայտով մեկ հավասարման լուծումը

 

Ալեքսանդրացի Դիոֆանտը (Դիոֆանտուս) հույն մաթեմատիկոս է, ով  ծնվել է երրորդ դարում:Նա ապրել է 84 տարի, ամուսնացել է  33 տարեկան հասակում և ունեցել  է  մեկ որդի: Չնայած նրա անձնական կյանքը մնում է գաղտնի, սակայն մեզ հասել է, որ  Դիոֆանտոսը շատ գրեր է գրել, բայց, ցավոք, միայն մի քանիսն են պահպանվել  և գրանցված են «Արիթմետիկայում» որում  ի սկզբանե եղել է տասներեք գիրք, որից այժմ  ընդամենը վեցն է պահպանվել: Այս գրքերից ստացված տեղեկատվությունը մեզ ասում է, որ Դիոֆանտուսը սովորել է բաբելոնցի ուսուցիչներից, քանի որ նրա աշխատանքները ներշնչված են հունական և բաբելական դիտորդների աշխատանքներից:
«Arithmetika» – ն ՝ Diophantus- ի գլխավոր աշխատությունն է  և  համարվում է Հունաստանի պատմության մեջ հանրահաշվում  կատարված առավել նկատելի և ազդեցիկ աշխատանք: Նրա ոճը շատ տարբեր է. նա երբեք չի օգտագործել ընդհանուր մեթոդներ խնդիր մշակելիս: Ըստ  նրա վերլուծության, մեկ խնդրի համար օգտագործվող մեթոդը չի կարող օգտագործվել նույնիսկ մեկ այլ շատ նման խնդրի լուծման համար:
Դիոֆանտի մահից անմիջապես հետո սկսվեց մութ դարաշրջան, որը ստվեր տարածեց մաթեմատիկայի և գիտության վրա և ստիպեց, որ Դիոֆանտուսի և Թվաբանության մասին գիտելիքները Եվրոպայում կորչեն շուրջ 1500 տարի: Հավանաբար, նրա աշխատանքի մի մասը գոյատևելու միակ պատճառն այն է, որ շատ արաբագետներ ուսումնասիրել են նրա աշխատանքները և պահպանել այդ գիտելիքները հետագա սերունդների համար: 1463 թ.-ին գերմանացի մաթեմատիկոս Ռեգիոմոնտանուսը գրեց.
«Դեռ ոչ ոք հունարենից լատիներեն չի թարգմանել Դիոֆանտի տասներեք գիրքը, որոնց մեջ թաքնված է թվաբանության ամբողջ գաղտնիքները: Դիոֆանտուսը կարևոր առաջընթաց է գրանցել նաև մաթեմատիկական նշագրման մեջ: Նա առաջինն էր, ով օգտագործեց հանրահաշվական  սիմվոլները:
Դիոֆանտը  բոլորիս հայտնի է  որպես  հանրահաշվի հայր: Էվկլիդեսի դարաշրջանից մոտավորապես հինգ դար անց նա լուծեց հարյուրավոր հանրահաշվական հավասարումներ, առաջին մարդն էր, ով օգտագործեց հանրահաշվական նշանակումները  և սիմվոլները:

Դիոֆանտի ամենապարզ գծային հավասարումը ունի այս տեսքը՝

ax + by = c ձևը, որտեղ a, b և c ամբողջ թվեր են:  Այս տեսքի հավասարումը, լուծում ունի այն և միայն այն դեպքում, որտեղ  x- ը և y- ն ամբողջ թիվ են , իսկ  c- ն a և b- ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի բազմապատիկն է։

Ավելին, եթե (x, y) լուծում է, ապա մյուս լուծումներն ունեն այսպիսի  տեսք՝

(x + kv, y – ku), որտեղ k- ը կամայական ամբողջ թիվ է, իսկ u- ն և v- ն՝ u=b/d, v=a/d  (d- հանդիսանում է  a,b-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար։ Վերցնենք երկու անհայտով մեկ հավասարում և գտնենք այդ հավասարման ամբողջ լուծումները  ։

47x+30y=1

Ըստ Դիոֆանտոսի ,այն ունի լուծում, քանի որ 1 -ը  (47,30)  թվազույգի  ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի բազմապատիկ է ։
47=30(1)+17    17=47+30(-1)

30=17(1)+13    13=30+17(-1)

17=13(1)+4      4=17+13(-1)

13=4(3)+1         1=13+4(-3)

1=13+4(-3)=13+[17(1)+13(-1)](-3) =13+17(-3)+13(3)=13(4)+17(-3) =

=[30+17(-1)](4)+17(-3)=30(4)+17(-4)+17(-3)=

=30(4)+17(-7)=30(4)+[47+30(-1)](-7)  =30(4)+47(-7)+30(7)=

=47(-7)+30(11)

x=-7, y=11     ( -7,11)-ը հանդիսանում է  երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարման լուծում։

Նյութը ներկայացրեց Միջին դպրոցի դասավանդող Սյուզաննա Հակոբյանը:

Աղբյուրը հղումով:

 

 

Հնդիկ մաթեմատիկոսի առեղծվածային կյանքը

Միջին դպրոցի սովորող Տիգրան Գրիգորյանը ներկայացնում է…

Ես դիտել եմ «Մարդը, որը ճանաչում է անսահմանությունը»:

Ֆիլմը հնդիկ ինքնուս մաթեմատիկոս Սրինիվասա Ռամանուջանի մասին է: Նա ապրում էի Հնդկաստանում և շատ աղքատ լինելու պատճառով աշխատում էր որպես բանվոր: Բայց երբ նրա գործատուները տեսնում են, որ նա շատ լավ հաշվում է, սկսում են նրան խնդրել, որ հաշվապահության մեջ օգնի նրանց:  Նա գործընկերների խորհուրդով նամակ է գրում մաթեմատիկոս պրոֆեսորներին և այդպես անգլյացի մի պրոֆեսոր նրան հրավիրում է Քեմբրիջ միասին աշխատելու համար:

Ֆիլմը դիտելիս շատ տպավորված են, որ հասարակ մարդ, որը հնարավորություն չունի կրթություն ստանալու և ամբողջ օրը փորձում է հացի փող վաստակել,  կարող է ունենալ նման գիտելիքներ և գնալ անգամ Քեմբրիջի համալսարան համատեղ աշխատելու:

Սրինիվասա Ռամանուջանի մասին:

Սրինիվասա Ռամանուջանին ծնվել է Մադրաս նահանգի Իրոդու քաղաքում դեկտեմբերի 22, 1887թ.: Նա դաստիարակվում էր բրախմայական խավի խիստ ավանդույթներով: խիստ

Դպրոցում սկսեցին դրսևորվել նրա արտասովոր ունակությունները մաթեմատիկայի բնագավառում և մի ծանոթ ուսանող տալիս է նրան եռանկյունաչափության գրքեր: 14 տարեկանում նա բացահայտում է Էյլերի թեորեմը սինուսի և կոսինուսի վերաբերյալ և տխրում է, երբ իմանում է, որ այն արդեն տպագրված է: 16 տարեկանում նա սկսում է ուսումնասիրել Ջորջ Կարրի «Պարզ և կիրառական մաթեմատիկայի տարրական արդյունքների»-ն, որում տեղաբաշխված էր 6165 թեորեմ և բանաձև, առանց ապացույցների և բացատրությունների: Ուսումնասիրելիս այն, նրա մոտ սկսեց դրսևորվել յուրահատուկ մաթեմատիկական մտածելակերպ: Դա է դառնում պատճառ, որ նրա հովհանավորի խորհուրդով գրում է նամակներ համալսարանների պրոֆեսորներին և 1913թ. Քեմբրիջի համալսարանի պրոֆեսոր Գոդֆրի Հարդին սկսում է նամակագրական կապ հաստատել Սրինիվասա Ռամանուջանիի հետ: Այդ կապի արդյունքում Հարդիի մոտ կուտակվում է մոտ 120 բանաձև, որն այն ժամանակի գիտությանը հայտնի չէին: 27 տարեկանում Ռամանուջանին տեղափոխվում է Քեմբրիջ: Այնտեղ նա ընտրվում է Լոնդոնի թագավորական ընկերության անդամ և Քեմբրիջի պրոֆեսոր:

Սրինիվասա Ռամանուջանին մահացել է 32 տարեկանում 1920թ. ՝ ապրիլի 26-ին: Ռամանուզանի աշխատանքների մեծ մասը մաթեմատիկական ինտուիցիայի արդյունք են, ստացել է ճիշտ և յուրօրինակ բանաձևեր, որոնց մի մասը դեռևս չեն ապացուցվել։ Դիտել ֆիլմը ՝ «Մարդը, որը ճանաչում է անսահմանությունը»:

Նյութի խորհրդատու՝ Լուսինե  Ներսեսյան:

 

 Պարզ թիվ, տեսակաները

Մաթեմատիկայում պարզ թվերը բնական թվեր են, որոնք ունեն միայն երկու բաժանարար, այսինքն բաժանվում են միայն մեկի և  իրենց վրա:

Պարզ թվերի բազմությունը նշանակում են:
= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ..}

Մնացած բնական թվերը բացի մեկից անվանում են բաղադրյալ թվեր։ Այսպիսով՝ բոլոր բնական թվերի բազմությունը (բացի 1-ից) բաժանվում է երկու մասի՝ պարզ և բաղադրյալ թվեր։

Պարզ թվերն անվերջ են։ Վերջինիս ճշմարտացիության առաջին ապացույցին հանդիպում ենք Էվկլիդեսի մոտ։ Նրա ապացույցը կարճ կարելի է ձևակերպել այսպես

՛՛Պատկերացնենք, որ պարզ թվերի քանակությունը վերջավոր է։ Բոլոր պարզ թվերը բազմապատկենք իրարով ու ստացվածին գումարենք մեկ։ Ստացված թիվը չի բաժանվում մեր ունեցած և ոչ մի պարզ թվի վրա, որովհետև բաժանումից ստացված մնացորդը միշտ մեկ է լինում։ Ստացվում է, որ այդ թիվը պետք է բաժանվի մի պարզ թվի վրա, որը մենք չենք ընդգրկել մեր պարզ թվերի բազմության մեջ։ Ստացանք հակասություն։

Պարզ թվերը ստանալու ամենակարճ եղանակը

Ցանկացած թվի պարզությունը որոշելու համար բավական է, որ այդ թիվը բաժանենք՝ 2-ից մինչև իր քառակուսի արմատի վրա (քառակուսի արմատը կլորացրած)։

Խնդիր։ Տրված է N բնական թիվը, որոշել արդյո՞ք այն պարզ է, թե՝ ոչ։

Լուծում։ Նախ որոշում ենք տրված թվի արմատը՝  այնուհետև կլորացնում ենք այն և հետո N թիվը բաժանում ենք 2֊ի և ստացված թվի արանքում ընկած բոլոր պարզ թվերի վրա ու եթե այն բաժանվում է գոնե մեկի վրա, ապա տրված N թիվը բաղադրյալ թիվ է, եթե՝ ոչ, ապա այլևս ոչ մի թվի վրա չի բաժանվի։

Հավելում․

Տրված N թիվը պարզ է եթե այն չի բաժանվում ցանկացած X պարզ թվերի վրա, որտեղ X֊ը հավասար է [2;] միջակայքում եղած բոլոր պարզ թվերին։

Առաջին 5000 պարզ թվերի աղյուսակ

Գիլբերտի խնդրի ուսումնասիրման ստուգման ծրագիրը հայտնում է, որ հաշվարկվել են մինչև բոլոր պարզ թվերը։ Դա կազմում է 24 739 954 287 740 860 պարզ թիվ, բայց դրանք չեն պահպանվել։ Գոյություն ունեն բանաձևեր, որոնք հնարավորություն են տալիս հաշվել պարզ թվերի քանակը (մինչև տրված արժեքը) ավելի արագ, քան պարզ թվերի հաշվարկը։ Այդ մեթոդը օգտագործվել է մինչև թիվը պարզ թվերի քանակըհաշվելու համար։ Դրանց թիվը 1 925 320 391 606 803 968 923 է։

Բելի պարզ թվեր

Պարզ թվեր են, որոնք հանդիսանում են թվով շարքի բաշխման թիվը։

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Հաջորդ թիվը 6539 նիշ ունի:

Քառակուսային պարզ թվեր

Տեսքի թվերրը կոչվում են քառակուսյինհ պարզ։

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317

Նույնպես քառակուսային պարզ են։

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249

Գեր պարզ թվեր

Պարզ թվեր, որոնք պարզ թվերի շարքում գրավում են պարզ թվերով կարգերում, այսինքն, երկրորդը, երրորդը, հինգերորդը և այլն։

Գերպարզ թվերի շարքի առաջին անդամներն են․ 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, …  թվային շարք։

Մեկերից կազմված պարզ թվեր

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 թվով մեկերից կազմված պարզ թվերի շարք։

Մեկերից և զրոներից կազմված պարզ թվեր

Բացի միայն մեկերից կազմված պարզ թվերից բացի կարելի է նշել նաև մեկերից և զրոներից կազմված պարզ թվերը։ Առաջին տաս միլիոնի սահմաններում այդպիսին են 11, 101, 10111, 101111, 1011001, 1100101 և այլն։

Նյութը ներկայացրեց Ավագ դպրոցի դասավանդող Թաթուլ Շահնազարյանը:

 

 Խնդիների թարգմանություն «Քվանտ» ամսագրից

1․Արևային քաղաքում կազմվել  են  թզուկների երեք խմբեր՝  Վինտիկներ, Շունտիկներ, Բոլտիկներ։ Պարզվեց, որ  խմբի երեք անդամների համար կգտնվի խումբ, որի մեջ կմտնեն առնվազն նրանցից երկուսը։ Արդյո՞ք ճիշտ է,  որ ինչ-որ մի խմբի բոլոր անդամները հանդիսանում են երկու այլ խմբերի  անդամներ։

2.Ապացուցեք, որ ցանկացած a,b ոչ բացասական  թվերի համար, ճիշտ է հետևյալ անհավասարությունը:

(a^2+b^2)^3>(a^3+b^3)^2

3

Զինվոր նորակոչիկները կանգնել են միանման  շարասյուններով, որոնք ունեն ուղղանկյան տեսք:  «Հավսար» հրահանգի  ժամանակ մի քանի զինվորներ  կատարեցին պտույտ աջ, մի քանիսը՝ ձախ,  ոմանք  կատարեցին մի  ամբողջ պտույտ, մնացածն էլ՝ տեղում քարացան: Յուրաքանչյուր  վայրկյանը մեկ կատարվում է հետևյալը ՝ ամեն նորակոչիկ հայտնվում է մյուսի դեմ դիմացը :  Ապացուցեք,որ

a) որոշ ժամանակ անց այդպիսի երես առ երես հանդիպումները կդադարեն:

b ) կդադարե՞ն արդյոք այդ պտույտները, եթե պտտվեն ոչ թե երկու զինվոր, ովքեր հայտնվել են դեմ դիմաց՝ այլ նրանցից միայն մեկը։

 

 

4.1-ից  9-ը թվերը տեղադրեք նկարում պատկերված շրջանների մեջ այնպես, որ բոլոր սպիտակ եռանկյունների  գագաթների  թվերի գումարը լինի  նույնը, իսկ կանաչ եռանկյունների գագաթների գումարը լինի երեք մեծ:

Աղբյուրը տես հղումով, էջ 29

Հատուկ համարի պատասխանատուներ՝

Մարիա Աբրահամյան, Միջին դպրոց 8-րդ դասարան

Կարեն Մարգարյան, Միջին դպրոց 8-րդ դասարան

Տիգրան Գրիգորյան, Միջին դպրոց 8-րդ դասարան

Մարկ Հովհաննիսյան, Միջին դպրոց 8-րդ դասարան

Լուիզա Եղիազարյան, Միջին դպրոց 8-րդ դասարան

Անահիտ Վերմիշյան, Միջին դպրոց 8-րդ դասարան

Դասավանդողներ՝

• Անի Միրզոյան
• Գրետա Բակունց
• Լուսիե Ներսեսյան
• Սյուզի Հակոբյան
• Արշակ Մարտիրոսյան
• Թաթուլ Շահնազարյան
• Լիանա Հակոբյան
• Զարինե Փանյան
• Մենուա Հարությունյան