Այս համարում ներառված են.
- Սեղանի խաղ-գլուխկոտրուկ
- Օնլայն փազլներ
- Գիտե՞ս, որ …
- Դիրիխլեի սկզբունքը
- Խնդիրների թարգմանություն «Քվանտ» ամսագրից
Սեղանի խաղ-գլուխկոտրուկ
Ձեր առջև հույն վարպետ Միխայիլ Տուլուզասի գլուխկոտրուկն է: 5×5 չափի տուփի մեջ կան 11 ուղղանկյունաձև դետալներ: Խաղի սկզբնական դիրքը պատկերված է նկար 1-ում:
Նկ. 1
Ինչպես բոլոր նմանատիպ գլուխկոտրուկներում, այստեղ նույնպես պետք է տեղաշարժել դետալները, առանց դրանք տուփից հանելու այնպես, որ սև գույնի դետալները տեղադրվեն տուփի ներքևի ձախ անկյունում, ինչպես ցույց է տրված նկար 2-ում:
Նկ.2
Ինչպես երևում է նկարից, երկու փոքրիկ սև քառակուսիները պետք է լինեն ձախ ստորին անկյունում, իսկ մեծ քառակուսին` նրանց կողքին (սպիտակ դետալների դասավորությունը էական չէ):
Նկար 3-ում դուք տեսնում եք նույն տուփը, պարզապես դատարկ վիճակում: Այո, ինչպես նկատեցիք, տուփում կան երկու դետալներ, որոնք սոսնձված են տուփին և դրանք տեղաշարժելը անհնար է:
Նկ. 3
Այդ պատճառով էլ խաղը զգալիորեն բարդանում է:Այն դժվարեցնում է գլուխկոտրուկի լուծման գործընթացը, բայց կարծում ենք, որ դուք այն կհաղթահարեք: Մաղթում ենք հաջողություն :
Աղբյուը տես հղումով, էջ 2:
Միջին դպրոցի սովորող Տիգրան Գրիգորյանն պարզեցրել է գլուխկոտրուկը և առաջարկում է լուծման իր տարբերակը:
Օնլայն փազլներ
Հյուսիսային դպրոցի դասավանդող Անի Միրզոյանն ընտանեկան դպրոցի սովորողներին առաջարկում է համալրել հետևյալ խաղերի շարքը՝ օնլայն փազլներ.
Գիտե՞ս, որ …
Գիտե՞ս, որ շարքը համալրել է Միջին դպրոցի մաթեմատիկայի դասավանդող Լուսինե Ներսեսյանը:
Դիցուք ունենք հետևյալ պարզ թվերի աղյուսակը՝
53 7 331
317 23 333
599 23 339
797 31 193
2 393 31 379
3 793 37 397
3 797 2 399 333
73 331 7 393 931
373 393 7 393 933
593 993 23 399 339
719 333 37 337 999
739 397 59 393 133
739 399 73 939 133
այն օժտված է շատ հետաքրքիր առանձնահատկությամբ, այն է, եթե մենք ջնջենք աղյուսակում գրված թվերի վերջին թվանշանները (ոչ բոլորը), ապա նորից կստանանք պարզ թվեր: Օրինակ՝
Վերցնենք 3793 թիվը, ջնջենք վերջին թվանշանը, կստանանք՝ 379 թիվը, որը պարզ է, այնուհետև ջնջենք 379 թվի վերջին թվանշանը, կստանանք 37, որը ևս պարզ է, պարզ կստացվի, եթե ջնջենք 7-ը, վերջնական կստանանք՝ 3:
3, 37, 379, 3793:
Եթե նկատեցիք, այս թվերի աղյուսակում կան երկու հաջորդական կենտ թվերի զույգեր՝
739.397-739.399
7.393.931- 7.393.933
Հավելեմ, որ այդ առանձնահատկությամբ օժտված տասանիշ թիվ գոյություն չունի:
Աղբյուը տե՛ս հղումով:
Դիրիխլեի սկզբունքը
Մաթեմատիկա ամսագրի տասներորդ համարում առաջարկել ենք մի քանի խնդիր, որոնք լուծվում էին Դիրիխլեի սկզբունքով: Այս համարում ավելի մանրամասն կխոսենք այդ սկզբունքից:
Կխոսենք Դիրիխլեի սկզբունքի և այդ սկզբունքից բխող տարբեր պնդումների հնարավոր արդյունավետ կիրառությունները մաթեմատիկայի դասընթացում, ինչը, կարծում ենք, կնպաստի ինչպես մաթեմատիկա դասավանդողների պատրաստվածության բարձրացմանն, այնպես էլ սովորողների ստեղծագործական մտածողության զարգացմանը:
Դիրիխլեի սկզբունքը լայն կիրառություն ունի օլիմպիադաներում հանդիպող ապացուցման վերաբերյալ շատ խնդիրներում: Սովորաբար մաթեմատիկական գրականությունում գերմանացի հայտի մաթեմատիկոս Պետեր Գուստավ Լեժեն Դիրիխլեի (1805-1859) սկզբունքը տրվում է ճագարների և վանդակների հիման վրա:
Դիրիխլեի սկզբունք: Եթե n հատ վանդակներում գտնվում են N թվով ճագարներ, ընդ որում N > n , ապա կգտնվի այնպիսի վանդակ, որում կլինեն մեկից ավել ճագարներ:
Այս սկզբունքի ճշմարտացիության մեջ հեշտությամբ կարելի է համոզվել, կիրառելով հակասող ենթադրության մեթոդը: Ավելորդ չէ նշել, որ Դիրիխլեի սկզբունքի համաձայն ոչ թե որոշում ենք այն վանդակը, որում կան մեկից ավել ճագարներ, այլ միայն հիմնավորում ենք այդպիսի վանդակի գոյությունը։ Տարբեր խնդիրներում կիրառվում է նաև Դիրիխլեի ընդհանրացված սկզբունքը:
Դիրիխլեի ընդհանրացված սկզբունքը: Եթե n հատ վանդակներում գտնվում են N թվով ճագարներ, ընդ որում N > kn , ապա կգտնվի այնպիսի վանդակ, որում կլինեն առնվազն k +1 ճագարներ:
Սովորողների համար, ով առաջին անգամ է ծանոթանում այս սկզբունքին, առաջին հայացքից կարող է խիստ զարմանալի թվալ, թե ինչպե՞ս կարող է այս պարզ ու ակներև պնդումը դառնալ արդյունավետ և հուսալի «գործիք» տարաբնույթ բարդ խնդիրների լուծման ժամանակ։ Ըստ էության, հիմնական դժվարությունը կայանում է նրանում, որ յուրաքանչյուր կոնկրետ խնդրում ի սկզբանե ամենևին պարզ չէ, նրանում կիրառելի՞ է արդյոք Դիրիխլեի սկզբունքը, թե ոչ, և բացի այդ, այս սկզբունքի կիրառման ցանկության դեպքում անգամ, խնդրի տեսքից ու դրվածքից ելնելով, այնքան էլ հեշտ չէ կռահել, թե նրանում ինչն է հանդես գալիս «ճագարի» դերում և ինչը «վանդակի» դերում։ Դրա համար ֆորմալ առումով Դիրիխլեի սկզբունքին ծանոթանալուց զատ անհրաժեշտ է խնդիրների լուծման որոշակի հմտություն, կարողություն և փորձառություն։ Ստորև առաջարկում ենք ծանոթանալ հետևյալ խնդիրներին, որոնք հնարավորություն կտան Դիրիխլեի սկզբունքի կամ նրանից բխող առանձին պնդումների կիրառմամբ լուծել տարբեր բարդությունների տիպային և ոչ տիպային խնդիրներ:
Խնդիր 1։ Ապացուցել, որ 5×5 չափի քառակուսային աղյուսակի վանդակներում հնարավոր չէ տեղադրել -1; 0 և 1 թվերն այնպես, որ բոլոր տողերի, սյուների և անկյունագծերի վրա դասավորված թվերի գումարները լինեն միմյանցից տարբեր։
Լուծում։ Ունենք 5 տող, 5 սյուն և 2 անկյունագիծ և ուրեմն հնարավոր գումարների քանակը 12 է։ Այս հնարավոր գումարները դիտարկենք որպես «Ճագարներ»։ Ըստ խնդրի պայմանի՝ յուրաքանչյուր տողում, սյունակում կամ անկյունագծի վրա պետք է դասավորված լինեն հինգ թվեր, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է լինել -1; 0 կամ 1, հետևաբար որևէ տողում, սյունում կամ անկյունագծի վրա դասավորված թվերի գումարը կարող է լինել
-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 ; 5։
Այս հնարավոր գումարներն էլ դիտարկենք որպես «վանդակներ»։ Պայմանավորվենք յուրաքանչյուր «ճագար»-գումար տեղադրել թվապես իրեն հավասար «վանդակում»։ Ունենք n = 11 «վանդակներ» և N = 12 «Ճագարներ», հետևաբար, Դիրիխլեի սկզբունքի համաձայն, կգտնվի այնպիսի «վանդակ», որում կլինեն առնվազն երկու «Ճագարներ», այսինքն՝ առնվազն երկու գումար միմյանց հավասար են, հետևաբար խնդրի պնդումն ապացուցված է։
Հավելենք, որ այս խնդիրն առաջադրված է եղել 1996 թվականի ՀՀ դպրոցականների մաթեմատիկայի օլիմպիադայի եզրափակիչ փուլում։ Նկատենք, որ խնդրում նշված պնդումն իրավացի է nxn չափի քառակուսային աղյուսակի համար։
Խնդիր 2։ Դասարանում հայոց լեզվի թելադրությանը ներկա էր 29 սովորող, որոնցից Սերգեյը կատարել էր բոլորից շատ, թվով 13 ուղղագրական սխալ, իսկ մնացած սովորողներից յուրաքանչյուրը կատարել էին ավելի քիչ սխալներ։ Ապացուցել, որ դասարանում կգտնվեն առնվազն երեք սովորողներ, որոնք կատարած կլինեն նույն քանակի սխալներ:
Լուծում։ Որպես «վանդակներ» ընտրենք աշակերտների թույլ տված սխալների հնարավոր քանակները։ Վերջիններս 14-ն են՝ 0; 1; 2; …13: Որպես «Ճագարներ» դիտարկենք թելադրություն գրած սովորողներին, որոնք թվով 29-ն են։ Պայմանավորվենք յուրաքանչյուր «ճագար»- սովորող տեղադրել թվապես իր կատարած սխալների քանակին հավասար «վանդակում»։ Այսպիսով, ունենք n= 14 «վանդակներ» և N = 29 >2 x14 (k=2) «Ճագարներ», հետևաբար, Դիրիխլեի ընդհանրացված սկզբունքի համաձայն, կգտնվի այնպիսի «վանդակ», որում կլինեն առնվազն k +1 = 2+ 1= 3 «Ճագարներ»- սովորողներ, որոնք կատարած կլինեն նույն քանակի սխալներ (քանի որ գտնվում են նույն «վանդակում»), հետևաբար խնդրի պնդումն ապացուցված է։
Շատ դեպքերում, համեմատաբար ոչ պարզ խնդիրներում, ի սկզբանե հնարավոր չէ խնդրի ելակետային տվյալներից ելնելով միանգամից ընտրել կոնկրետ «ճագարներ» ու «վանդակներ», այլ պետք է նախապես կատարել որոշակի դատողություններ, որից հետո միայն փորձել կիրառել Դիրիխլեի սկզբունքը։
Խնդիր 3։ Ապացուցել, որ կամայական 110 հատ բնական թվի մեջ միշտ կգտնվեն այնպիսի երկուսը, որոնցում կհամընկնեն առնվազն երկու կարգային թվանշաններ։
Լուծում։ Քանի որ միանիշ բնական թվերը ինն են, ուստի կամայական 110 բնական թվերի մեջ միշտ կգտնվեն առնվազն 101 ոչ միանիշ թվեր։ Հեշտ է նկատել, որ կամայական 101 ոչ միանիշ թվերի մեջ գոնե երկուսի վերջին երկու թվանշանները, համաձայն Դիրիխլեի սկզբունքի կհամընկնեն, քանի որ այդ թվերի վերջին երկու թվանշանների համար գոյություն ունի հնարավոր 100 տարբերակ՝ 0-ից մինչև 99-ը։ Խնդրի ապացուցված է։
Նշենք, որ Դիրիխլեի սկզբունքը պնդում է հավելորդով, երբ ճագարներն ավելին են, քան վանդակները: Ընդհանրացնելով, համանման պնդումներ կարելի է ձևակերպել նաև պակասորդով, երբ ճագարների քանակը պակաս է վանդակների քանակից կամ տրված որոշակի թվից։
Պնդում 1։ Եթե n հատ վանդակներում գտնվում են N թվով ճագարներ, ընդ որում
N <n, ապա կգտնվի այնպիսի վանդակ, որում ճագարներ չեն լինի:
Պնդում 2։ Եթե n հատ վանդակներում գտնվում են N թվով ճագարներ, ընդ որում N<n(n-1)/2, ապա կգտնվեն այնպիսի երկու վանդակներ, որոնցում կլինեն միևնույն թվով ճագարներ:
Այս պնդումների ճշմարտացիության մեջ ևս հեշտությամբ կարելի է համոզվել՝ կիրառելով հակասող ենթադրության մեթոդը։ Նկատենք, որ խնդիր 1-ը կարելի էր լուծել նաև պնդում 1-ի կիրառմամբ։ Դրա համար բավական է նախապես կատարել հակասող ենթադրություն, որից հետո պետք է ուղղակի վերը նշած լուծման մեջ տեղերով փոխել «ճագարներին» և «վանդակներին»։ Արդյունքում, պնդում 1-ի համաձայն առաջացած դատարկ «վանդակի» առկայությունն էլ կփաստի խնդրի պնդման ճշմարտացիությունը։
Խնդիր 4 : Հնարավո՞ր է արդյոք թվով 60 միատեսակ մետաղադրամներ բաժանել 12 քսակներում այնպես, որ յուրաքաչյուր երկու քսակում լինեն տարբեր քանակի մետաղադրամներ:
Լուծում։ Ունենք n = 12 «վանդակներ»-քսակներ և N= 60<n(n-1)/2=66 «ճագարներ»-մետաղադրամներ, հետևաբար, համաձայն պնդում 2-ի, ուզած բաժանման դեպքում էլ կլինեն առնվազն երկու միևնույն քանակի մետաղադրամներ պարունակող քսակներ։
Դեռ ավելին, ըստ էության կարող ենք պնդել, որ անհրաժեշտ է առնվազն n(n-1)/2=66 մետաղադրամ, որպեսզի հնարավոր լինի վերջիններս 12 քսակներում բաժանել այնպես, որ յուրաքանչյուր երկու քսակում լինեն տարբեր քանակի մետաղադրամներ (եթե, իհարկե, քսակում մետաղադրամի բացակայությունը չի արգելվում, հակառակ պարագայում խնդրում նշված պայմանին բավարարելու համար անհրաժեշտ կլինի ոչ թե 66, այլ առնվազն n(n-1)/2=66+1=67 մետաղադրամ)։
Դիրիխլեի սկզբունքն իր արդյունավետ կիրառությունն ունի նաև այնպիսի երկրաչափական խնդիրներում, որոնք կքննարկենք հաջորդ համարում:
Խնդիրների թարգմանություն «Քվանտ» ամսագրից
1. П (n)-ով նշանակենք բնական n թվի թվանշանների արտադրյալը, ընդ որում, եթե n-ը միանիշ թիվ է, ապա П(n)=n: Օրինակ՝
П(5)=5, П(25)=2×5=10:
Դիցուք ունենք հետևյալ թվային հաջորդականությունը՝
1 + П(1), 2 + П(2), 3 + П(3), … :
Կարո՞ղ ենք պնդել, որ այս հաջորդականության մինչև հերթական 2007-րդ անդամներից յուրաքանչյուրը հանդիսանում է բնական թիվ:
2. Կղզում ապրող աբորիգեններից յուրաքանչյուրը կա՛մ միայն ստում էր, կա՛մ ասում էր միայն ճշմարտությունը: Մի անգամ հանդիպեցին երեք աբորիգեն՝ Ախը, Օխը և Ուխը։ Նրանցից մեկն ասաց․
-Ախը և Օխը սուտասաններ են։
Մյուսն ասաց․
-Ախը և Ուխն են սուտասան:
Բայց, թե նրանցից ով ինչ ասաց, անհայտ է։ Այդ երեք աբորիգեններից քանի՞սն էին ստախոս:
3. Պրոֆեսոր Մումբում-Պլյումբումը երազում էր գտներ այնպիսի տասը տարբեր բնական թվեր, որ դրանց ամենամեծ ընհանուր բաժանարարը և այդ թվերի միջին թվաբանականն համընկներ։ Կհաջողվի արդյո՞ք պրոֆեսորին գտնել այդպիսի բնական թվեր:
4. Պետյան 96 թերթանոց տետրի յուրաքանչյուր թերթի վրա նկարեց ծիծաղելի դեմք, մեկ թերթի մի կողմից, մեկ թերթի մյուս կողմից, ընդ որում, նկարեց այնպես, որ եթե տետրը փակ դնես սեղանիի վրա, նկարների մի մասը կնայեն իրեն, իսկ մյուս մասը՝ ոչ: Ճի՞շտ է, որ տետրը կարելի է բացել (կամ ընդհանրապես չբացել) որևէ տեղից, որ նրան նայող և չնայող նկարների թիվը համընկնեն:
5. Կանոնավոր ութանկյունը բաժանված է մասերի, որոնք ներկված են չորս տարբեր գույներով, տես նկարը։ Ապացուցեք, որ յուրաքանչյուր գույնով ներկված է պատկերի մակերեսը նույնն է:
Համարի պատասխանատուներ՝
Խմբագիր, թողարկող՝ Մարիա Աբրահամյան, Միջին դպրոց, 8-րդ դասարան
Թարգմանեցին՝
Հայկ Ղազարյան, Միջին դպրոց, 8-րդ դասարան
Մարիամ Հովհաննիսյան, Ավագ դպրոց, 10-րդ դասարան
Տեսանյութի հեղինակ՝ Տիգրան Գրիգորյան, Միջին դպրոց, 8-րդ դասարան և ընտանիք
Դասավանդողներ՝ Անի Միրզոյան, Լուսինե Ներսեսյան