Թողարկում #7.
Այս համարում ներառված են հետևյալ նյութերը.
- Բակային մաթեմատիկական խաղեր
- Խաղ- խաչբառ
- Խնդիր աղյուսակով գրված թվերի մասին
- Երկրաչափական անհավասարություններ
- Խնդիրների թարգմանություն «Քվանտ» ամսագրից
1. Բակային մաթեմատիկական խաղեր
Առաջարկում ենք բակային երեք խաղ, որոնք կարելի է խաղալ բակում ամառային արձակուրդի ժամանակ, կամ մաթեմատիկական մրցաշարերին, մրցույթներին կամ էլ մաթեմատիկական ԿՎՆ-ում:
Ստորև նշված խաղերից յուրաքանչյուրում մասնակիցներից միշտ մեկը ճանաչվում է հաղթող: Կարո՞ղ եք նախապես որոշել, թե տրված խաղում ո՞վ առաջինը կհաղթի, եթե մասանկիցները խաղում են խաղի կանոններին համապատասխան: Ինչպե՞ս խաղալ, որ դուք լինեք միշտ հաղթող, մտածեք հաղթողի ճիշտ քայլերի ռազմավարության մասին:
Խաղ 1.
Ունենք քարերից կազմված երկու կույտ։ Երկու խաղացող հերթականությամբ կատարում են հետևյալ քայլերը՝ վերցնում է կույտերից մեկը, իսկ երկրորդը կիսում է երկու մասի։ Եթե խաղացողն իր քայլի ժամանակ չի կարողանում բանաժել կույտը (քանի որ այնտեղ մնացել է միայն մեկ քար), ապա այդ մասնակիցը պարտվում է։
Խաղ 2․
Հողի մեջ խրում են մի քանի սյուն։ Ըստ հերթականության խաղացողները նախորդ սյունը կապում են հաջորդ սյանը որևէ լարով կամ ամուր թելով: Հաղթող է համարվում այն խաղացողը, որի քայլից հետո ստացվում է լարերով պատրաստված փակ բեկյալ: Նշենք, որ խաղի ընթացքում արդեն կապված սյունը չի կարելի կապել երկրորդ անգամ:
Խաղ 3․
Երկու խաղացողներ հերթականությամբ պոկում են երիցուկի թերթիկներ։ Յուրաքանչյուր մասնակից իր խաղի ժամանակ երիցուկից կարող է պոկել մեկ կամ երկու կպած հարևան թերթիկներ։ Հաղթող է համարվում այն մասնակիցը, ով պոկում վերջին թերթիկը: Բակում այս խաղը կարելի է խաղալ նաև քարերով կամ տերևներով՝ վերցնելով մի քանի քարից կամ տերևից կազմված համապատասխան կույտեր:
Նյութի աղբյուրը հղումով:
2. Խաղ-խաչբառ
Իր հեղինակային երկրաչափական խաչբառն է առաջարկում Լուիզա Եղիազարյանը:
Խաչբառի հարցերը տե՛ս հղումով:
3. Խնդիր աղյուսակով գրված թվերի մասին
Խնդիր: Դիցուք տրված են 1, 2, 3, … n 2 թվեր, որոնք կամայական ձևով դասավորված են nxn աղյուսակում: Ապացուցել, որ nxn աղյուսակում կգտնվի երկու հարևան թվեր, որոնց տարբերությունը փոքր չէ n-ից:
Ապացուցելու համար, նախ պարզենք, թե ինչ է նշանակում աղյուսակում գրված հարևան թվեր հասկացությունը:
Սահմանում: Աղյուսակում երկու թվեր անվանում են հարևան, եթե այդ վանդակները, որում գրված են թվերը ունեն ընդհանուր կողմ:
Լուծելու համար նախ խնդիրը պարզեցնենք:
Հեշտ է տեսնել, որ 1,2,…,n2 թվերը կարելի է տեղադրել nxn աղյուսակում, այնպես որ ցանկացած երկու հարևան թվերի տարբերությունը չգերազանցի n- ը: Այդպիսի օրինակ է հանդիսանում աղյուսակ մեկը և երկուսը:
Վերցնենք n=5 և փորձենք 1, 2, 3, 4, ….25 թվերը դասավորել 5×5 աղյուսակում այնպես, որ ցանկացած երկու հարևան թվերի տարբերությունը չգերազանցի հինգ թիվը: Տես աղյուսակ 1 և 2:
Աղյուսակ 1.
Աղյուսակ 2.
Աղյուսակ մեկից փոխելով սյունակների տեղերը կարելի է ստանալ նորից 119=1x2x3x4x5-1 հատ աղյուսակ, որտեղ ցանկացած հարևան թվերի տարբերությունը չի գերազանցում 5 թիվը:
Աղյուսակ 2-ում, ցանկացած երկու հարևան թվերի տարբերությունը չմեծացնելով հինգից, կարելի է ստանալ նոր աղյուսակ, օրինակ փոխելով մեկի և երկուսի տեղերը, կամ 24-ի և 25 տեղերը: Կարելի է նույն եղանակով գծել աղյուսակներ ցանկացած n-ի դեպքում:
Այսպիսի աղյուսակներ կարող ենք շատ գծել, որ 1, 2, 3, …,n2 թվերը հնարավոր լինի դասավորել nxn աղյուսակում, այնպես, որ ցանկացած հարևան թվերի առավելագույն տարբերւթյունը հավասար լինի n: Հարց է առաջանում, թվերի ցանկացած դասավորության դեպքում հնարավո՞ր է, որ ցանկացած հարևան թվերի առավելագույն տարբերությունը փոքր լինի n-ից:
Պարզվում է, որ ոչ՛, հնարավոր չէ կազմել այդպիսի աղյուսակ, հենց այդ էլ մենք պատրաստվում ենք ապացուցել:
Խնդրի լուծումը պարզ է, հատկապես փոքր n-երի արժեքների դեպքում:
Վերցնենք, օրինակ՝ n=4, դիտարկենք 4×4 աղյուսակը, ընտրենք չորս վանդակներ, որտեղ տեղադրված են 1,2,3,4 թվերը:Աստղանիշով (*) նշենք այն մնացած վանդակները, որոնք համարվում են ընտրված թվերի համար հարևան թվեր, տես աղյուսակ երեքը:
Աղյուսակ 3
Նկատենք, որ անգամ, եթե ընտրված վանդակները գտնվում են աղյուսակի ծայրամասերում կամ անկյուններում, ապա աստղանիշերի քանակը փոքր չէ չորսից(ապացուցել ինքնուրույն): Այժմ, անկախ նրանից, թե ինչպես են դասավորվել աղյուսակում 5,6,…,16 թվերը, աստղանիշով նշված վանդակներից մեկում կարող ենք գրել a թիվը, որը a≥8 ( քանի որ ունենք առնվազն 4 աստղանիշով վանդակներ, իսկ ութից փոքր թվերը երեքն են` 5, 6, 7) : Այդ a-ով նշված վանդակը հանդիսանում է 1, 2, 3, 4, թվերից մեկի համար հարևան թիվ: Այսպիսով, ստացանք, որ a թիվը, որը a ≥8 հանդիսանում է որև b թվի համար հարևան թիվ,
b ≤4, այսինքն՝ a-b≥4 :
Նույն ձևով մենք կապացուցենք, որ 1,2,…,16 թվերի 4×4 աղյուսակում ցանկացած դասավորության դեպքում, կգտնվի երկու հարևան թվեր՝ a և b այնպես, որ
a-b≥4 :
Նյութի աղբյուրը հղումով:
Շարունակությունը՝ հաջորդ համարում:
4. Երկրաչափական անհավասարություններ
Հենց սկսում ենք երկրաչափություն ուսումնասիրել, ծանոթանում ենք մի կարևոր փաստի՝ եռանկյան կողմը փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարից:
AB<BC+AC, AC<AB+BC, BC<AB+AC
Այս անհավասարությունը, որը անվանում են եռանկյան անհավասարություն, թույլ է տալիս լուծել մի շարք երկրաչափական հետաքրքիր խնդիրներ:
Խնդիր 1
Ապացուցեք, որ եռանկյան կամայական ներքին կետի գագաթներից ունեցած հեռավորությունների գումարը մեծ է եռանկյան կիսապարագծից:
Լուծում:
Դիտարկենք AOB, BOC, COA եռանկյունները և գրենք եռանկյան երեք անհավասարությունը՝
AO+OB>AB
BO+OC>BC
CO+OA>AC:
Գումարելով այս անհավասարությունները և բաժանելով 2-ի կստանանք՝
AO+BO+CO>(AB+BC+AC)
ինչը և պահանջվում էր ապացուցել:
Փորձեք անհավասարություններ ապացուցելու վերաբերյալ մի քանի խնդիր էլ ինքնուրույն լուծել: Պետք է եռանկյունները խելամտորեն ընտրել, դրանց կողմերի համար գրել անհավասարությունները և այդ անհավասարությունները բերել պահանջվող տեսքի:
Ապացուցել.
Խնդիր 2: Ուռուցիկ հնգանկյան անկյունագծերի գումարը փոքր է պարագծի կրկնապատիկից:
Խնդիր 3: Ուռուցիկ հնգանկյան անկյունագծերի գումարը մեծ է պարագծից:
Խնդիր 4. Եռանկյան միջնագիծը փոքր է այն երկու գողմերի կիսագումարից, որոնց միջև գտնվում է:
Խնդիր 5: Եռանկյան միջնագծերի գումարը փոքր է եռանկյան պարագծից, բայց մեծ է պարագծի երեք քառորդից:
Հավանաբար, նկատեցիք, որ յուրաքանչյուր խնդրում հարկ է լինում յուրովի ընտրել, թե ինչպես, որ ուղղությամբ գնահատում կատարել (անհավասարության նշանը դնել); Ընդ որում միշտ չէ, որ հնարավոր է լինում անհրաժետ արդյունքը ստանալը: Օրինակ, վերջին խնդրում հեշտ է ստանալը, որ միջնագծերի գումարը մեծ է կիսապարագծից (բավական է դիտարկել ABD, BCF, CAE եռանկյունները):
Միևնույն ժամանակ ստացված այլ եռանկյուններից կարելի է ստանալ ավելի ճշգրիտ գնահատական, որը պահանջվում է խնդրում: Հարց է առաջանում՝ ո՞րն է ամենամեծ k1 թիվը, որի համար ճիշտ է k1p < ma + mb + mc (այստեղ ma-ն, mb-ն, mc-ն համապատասխանաբար a, b, c կողմերին տարված միջնագծերն են, իսկ p-ն եռանկյան պարագիծն է):
Նմանապես հետաքրքիր է ճշգրիտ գնահատական ստանալ նաև մյուս կողմից՝ ո՞րն է ամենափոքր k2 թիվը, որի համար ma + mb + mc < k2p անհավասարությունը ճիշտ է ցանկացած եռանկյան համար:
Խնդիր 6: Ապացուցեք, որ եռանկյան միջնագծերի գումարը եռանկյան պարագծի հետ համեմատելիս լավագույն (այսինքն, եզրային) հաստատունները կլինեն՝ k1 = ¾, k2 = 1: Ավելի ճշգրիտ՝ ապացուցեք, որ
x= (ma + mb + mc)/ P հարաբերությունը ընդունում է [3/4, 1] հատվածի բոլոր արժեքները:
Ուշադրություն դարձնենք, որ նախորդ բոլոր խնդիրներում անհավասարությունները խիստ էին: Եթե ուզում ենք մոտենալ եզրին, այսինքն փնտրել այնպիսի եռանկյուններ, որոնց համար անհավասարությունը մոտ է հավասարության, պետք է եռանկյուններն էլ ընտրենք «այլասերվածին» մոտ :
Այսպես, որպեսզի ցույց տանք, որ ma + mb + mc >(3/4)p անհավասարությունը հնարավոր չէ ավելի լավացնել, կարելի է, օրինակ, դիտարկել այնպիսի հավասարասրուն եռանկյուններ, որոնց գագաթը մոտենում է հիմքին:
Պարզ է, որ այդպիս եռանկյան պարագիծը կձգտի հիմքի կրկնապատիկին, իսկ միջնագծերի գումարը հիմքի 3/2 մասին: Հավասարություն կստացվի, եթե գագաթը ընկնի հիմքի վրա, իսկ եռանկյունը «կայլասերվի» կրկնակի հատվածի:
Ընդհանրապես, [3/4, 1] հատվածին պատկանող ցանկացած x թվի համար կարելի է ցույց տալ այնպիսի հավասարասրուն եռանկյուն, որի համար (ma + mb + mc )/p= x : Սա թույլ է տալիս խնդիր 6-ը:
Խնդիր 7: Ապացուցեք, որ եռանկյան ցանկացած ներքին կետի գագաթներից ունեցած հեռավորությունների գումարը փոքր է պարագծից:
Խնդիր 8: Համեմատեք 1 և 7, 2 և 3 խնդիրները: Հետազոտեք նմանատիպ հարց, ինչ արեցինք միջնագծերի վերաբերյալ:
Խնդիր 9: Դիտարկենք հնարավոր ուռուցիկ n-անկյունները (n-ը որոշակի թիվ է): Այդ բազմանկյան մեջ ընտրենք մի կետ և հաշվենք այդ կետից մինչև բազմանկյան գագաթները եղած հեռավորությունների գումարի և բազմանկյան պարագծի հարաբերությունը: Ի՞նչ արժեքներ կարող է ընդունել այդ հարաբերությունը:
Հաջորդ խնդիրներում եռանկյան անհավասարությունից բացի պետք է օգտագործել նաև որոշ այլ պարզ անհավասարություններ, օրինակ, որ եռանկյան մեջ երկու կողմերից մեծ է այն, որը ավելի մեծ անկյան դիմաց է գտնվում, մասնավորապես, որ ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը մեծ է էջից և այլն:
Խնդիր 10: Ապացուցեք, որ բոլոր ուղղանկյուն եռանկյունների համար ճիշտ են հետևյալ անհավասարությունները՝
0,4 < r/h < 0,5, որտեղ r-ը եռանկյանը ներգծած շրջանի շառավիղն է, h-ը՝ ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը: Ճշգրի՞տ են նշված սահմանները:
Խնդիր 11: ABC եռանկյան C արտաքին անկյան կիսորդի վրա ընտրել են C-ից տարբեր M կետը: Ապացուցեք որ այդ կետից մինչև A և B գագաթները եղած հեռավորությունների գումարը ավելի մեծ է, քան C կետից մինչև նույն գագաթները եղած հեռավորությունների գումարը:
Խնդիր 12: Որպեսզի ABC եռանկյան մեջ A անկյունը լինի սուր, անհրաժեշտ է և բավարար, որ A գագաթից տարված միջնագիծը մեծ լինի BC կողմի կրկնապատիկից:
Խնդիր 13: ABC սուրանկյուն եռանկյան մեջ բարձրություններից ամենամեծը, ասենք՝ AH-ը, հավասար է BM միջնագծին: Ապացուցեք, որ ABC անկյունը փոքր է 600-ից:
Խնդիր 14: ABC եռանկյան ամենամեծ AC կողմի վրա տեղադրել են CD=BC հատվածը: Ապացուցեք, որ ABD անկյունը բութ է:
Խնդիր 15: A, B, C, D-ն ABCD ուռուցիկ քառանկյան հաջորդական գագաթներն են: Ապացուցեք, եթե AB + BD AC + CD, ապա AB ≤ AC:
Աղբյուր՝ Բաշմակով Մ. Ի. «Քվանտ», 1970, համար 2
5. Խնդիրների թարգմանություն Քվանտ ամսագրից:
1.Ներկեցին վանդակավոր քառակուսու երկու անկյունագծերի այն վանդակները, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ, տես նկարը։ Անկյունագծերից մեկը բաղկացած էր 20 վանդակից, իսկ մյուսը՝ 19 վանդակից։ Հնարավո՞ր է, որ այդ քառակուսին լինի 33×33 չափի։
2.ГУРА+НОРА+РАГУ+РУНО
Այս գրության մեջ միևնույն տառերը փոխարինված են միևնույն թվանշաններով, իսկ տարբեր տառերը՝ տարբեր թվանշաններով։ Ապացուցե՛ք, որ այդ գումարը բաժանվում է եռանիշ թվի վրա։
3.Նկարին նայելով գտեք հարցականով նշված հատվածի երկարությունը:
4.Մի օր Գոգոլը որոշեց վախեցնել Տուրգենևին։ Նա հագնվեց Պուշկինի նման և գնաց Տուրգենևին հյուր։ Իսկ Տուրգենևն էլ հենց այդ օրը որոշել էր վախեցնել Գոգոլին։ Նա նույնպես հագնվել էր Պուշկինի նման և գնում էր Գոգոլին հյուր։ Կեսօրին նրանք հանդիպեցին Տվերյան զբոսայգում, բայց չճանաչեցին իրար և աննակտ անցան իրար կողքով։ 12:45ր Տուրգենևը hասավ Գոգոլի տուն՝ տեսնելով որ տանը մարդ չկա, հետ վերադարձավ։ 13:15ր Գոգոլը հասավ Տուգենևի տուն և նույնպես՝ տեսնելով որ տանը մարդ չկա հետ վերադարձավ: 13:45 Գոգոլը և Տուրգենևը նորից հանդիպեցին և միաժամանակ բղավեցին․
– Ա՛յ քեզ բան, Պուշկի՞ն։
Նրանից ո՞վ և քանի՞ րոպե տարբերությամբ էր շուտ դուրս եկել տնից: Նշենք, որ յուրաքանչյուր գրող քայլում էր միևնույն հաստատուն արագությամբ:
Թողարկման պատասխանատուներ.
Թողարկող, խմբագիր՝ Մարիա Աբրահամյան, Միջին դպրոց, 7-րդ դասարան
Աշխատանքը թարգմանեցին.
Կարինե, Արսեն Գոմցյաններ՝ Միջին դպրոց 7-րդ, 8-րդ դասարաններ
Սյուզի Հակոբյան՝ մաթեմատիկայի դասավանդող
Մարիամ Հովհաննիսյան՝ Ավագ դպրոց, 9-րդ դասարան
Գևորգ Հակոբյան՝ Մանկավարժության լաբորատորիայի ղեկավար
Խաչբառի հեղինակ՝
Լուիզա Եղիազարյան, Միջին դպրոց, 7-րդ դասարան