Թողարկում #7.

Թողարկում  #7.

Այս համարում ներառված են հետևյալ նյութերը.

  • Բակային մաթեմատիկական խաղեր
  • Խաղ- խաչբառ
  • Խնդիր աղյուսակով գրված թվերի մասին
  • Երկրաչափական անհավասարություններ
  • Խնդիրների թարգմանություն «Քվանտ» ամսագրից

1. Բակային մաթեմատիկական խաղեր

Առաջարկում ենք  բակային  երեք  խաղ, որոնք  կարելի է խաղալ բակում ամառային արձակուրդի ժամանակ,    կամ մաթեմատիկական  մրցաշարերին,  մրցույթներին կամ  էլ  մաթեմատիկական ԿՎՆ-ում:
Ստորև նշված  խաղերից  յուրաքանչյուրում  մասնակիցներից  միշտ մեկը ճանաչվում է  հաղթող:  Կարո՞ղ եք նախապես  որոշել,  թե տրված խաղում  ո՞վ  առաջինը կհաղթի, եթե մասանկիցները  խաղում  են խաղի կանոններին համապատասխան: Ինչպե՞ս խաղալ, որ  դուք լինեք միշտ հաղթող, մտածեք հաղթողի ճիշտ քայլերի  ռազմավարության մասին:

Խաղ 1.

Ունենք քարերից կազմված երկու կույտ։ Երկու խաղացող հերթականությամբ կատարում են   հետևյալ քայլերը՝ վերցնում է կույտերից մեկը, իսկ երկրորդը կիսում է երկու մասի։ Եթե խաղացողն իր քայլի ժամանակ չի կարողանում բանաժել կույտը (քանի որ այնտեղ մնացել է միայն մեկ քար), ապա այդ մասնակիցը պարտվում է։

 

 

 

 

 

Խաղ 2

Հողի մեջ խրում  են մի քանի սյուն։  Ըստ հերթականության խաղացողները նախորդ սյունը կապում են հաջորդ  սյանը որևէ լարով կամ ամուր թելով:  Հաղթող է համարվում այն խաղացողը, որի քայլից հետո ստացվում է  լարերով պատրաստված   փակ բեկյալ:  Նշենք, որ խաղի ընթացքում  արդեն կապված   սյունը  չի կարելի  կապել երկրորդ անգամ:

Խաղ 3

Երկու խաղացողներ հերթականությամբ պոկում են երիցուկի թերթիկներ։ Յուրաքանչյուր մասնակից իր խաղի ժամանակ երիցուկից կարող է   պոկել մեկ կամ երկու կպած հարևան թերթիկներ։ Հաղթող է  համարվում այն մասնակիցը, ով  պոկում  վերջին թերթիկը: Բակում այս խաղը  կարելի է խաղալ նաև քարերով կամ տերևներով՝  վերցնելով մի քանի քարից կամ տերևից   կազմված համապատասխան  կույտեր:

Նյութի աղբյուրը  հղումով:

2. Խաղ-խաչբառ

Իր հեղինակային երկրաչափական խաչբառն է առաջարկում Լուիզա Եղիազարյանը:

 

Խաչբառի հարցերը տե՛ս հղումով:

 

3. Խնդիր աղյուսակով  գրված թվերի մասին

Խնդիր: Դիցուք տրված են 1, 2, 3, … n 2  թվեր, որոնք  կամայական ձևով դասավորված են  nxn աղյուսակում:  Ապացուցել, որ nxn աղյուսակում կգտնվի երկու հարևան թվեր,  որոնց  տարբերությունը  փոքր չէ  n-ից:

Ապացուցելու համար, նախ պարզենք, թե ինչ է նշանակում  աղյուսակում գրված  հարևան թվեր հասկացությունը:
Սահմանում: Աղյուսակում  երկու թվեր անվանում են հարևան, եթե  այդ վանդակները, որում գրված են թվերը ունեն ընդհանուր կողմ:
Լուծելու համար նախ  խնդիրը պարզեցնենք:
Հեշտ է տեսնել, որ 1,2,…,n2  թվերը կարելի է տեղադրել nxn  աղյուսակում, այնպես որ   ցանկացած երկու հարևան թվերի տարբերությունը չգերազանցի n- ը: Այդպիսի օրինակ է հանդիսանում աղյուսակ մեկը և երկուսը:
Վերցնենք  n=5 և փորձենք 1, 2, 3, 4, ….25 թվերը դասավորել  5×5 աղյուսակում այնպես,  որ ցանկացած երկու հարևան  թվերի տարբերությունը չգերազանցի հինգ թիվը: Տես աղյուսակ 1 և 2:

Աղյուսակ 1.

Աղյուսակ 2.

 

Աղյուսակ մեկից փոխելով  սյունակների տեղերը  կարելի է ստանալ  նորից  119=1x2x3x4x5-1 հատ  աղյուսակ, որտեղ ցանկացած հարևան թվերի տարբերությունը   չի գերազանցում  5 թիվը:
Աղյուսակ  2-ում, ցանկացած երկու հարևան թվերի տարբերությունը չմեծացնելով հինգից, կարելի է ստանալ  նոր  աղյուսակ, օրինակ փոխելով մեկի և երկուսի տեղերը, կամ 24-ի և 25 տեղերը: Կարելի է նույն եղանակով գծել աղյուսակներ ցանկացած n-ի  դեպքում:

Այսպիսի աղյուսակներ  կարող ենք  շատ գծել, որ 1, 2, 3, …,n2    թվերը  հնարավոր լինի  դասավորել   nxn աղյուսակում, այնպես, որ ցանկացած հարևան թվերի  առավելագույն տարբերւթյունը  հավասար լինի n:  Հարց  է առաջանում, թվերի ցանկացած դասավորության դեպքում հնարավո՞ր է, որ ցանկացած  հարևան թվերի առավելագույն տարբերությունը փոքր լինի n-ից:

Պարզվում է, որ ոչ՛,  հնարավոր չէ կազմել այդպիսի աղյուսակ,  հենց այդ էլ մենք պատրաստվում ենք ապացուցել:

Խնդրի լուծումը  պարզ է,  հատկապես  փոքր n-երի արժեքների դեպքում:

Վերցնենք, օրինակ՝ n=4, դիտարկենք 4×4   աղյուսակը, ընտրենք  չորս վանդակներ, որտեղ տեղադրված են  1,2,3,4  թվերը:Աստղանիշով (*) նշենք  այն մնացած վանդակները, որոնք համարվում են ընտրված թվերի համար   հարևան թվեր, տես աղյուսակ երեքը:

Աղյուսակ 3

 

Նկատենք, որ անգամ, եթե ընտրված վանդակները  գտնվում են աղյուսակի ծայրամասերում կամ անկյուններում, ապա աստղանիշերի քանակը  փոքր չէ չորսից(ապացուցել ինքնուրույն): Այժմ, անկախ նրանից, թե ինչպես են դասավորվել  աղյուսակում  5,6,…,16 թվերը,  աստղանիշով նշված վանդակներից մեկում կարող ենք գրել a թիվը, որը   a≥8 ( քանի որ ունենք առնվազն 4 աստղանիշով վանդակներ, իսկ   ութից փոքր թվերը երեքն են` 5, 6, 7) : Այդ  a-ով նշված վանդակը  հանդիսանում է   1, 2, 3, 4, թվերից մեկի համար հարևան թիվ: Այսպիսով, ստացանք, որ  a թիվը, որը  a ≥8  հանդիսանում է որև b թվի համար  հարևան թիվ,
b ≤4,  այսինքն՝  a-b≥4 :

Նույն ձևով մենք կապացուցենք, որ 1,2,…,16    թվերի  4×4 աղյուսակում ցանկացած դասավորության դեպքում, կգտնվի երկու հարևան թվեր՝ a և b այնպես, որ

a-b≥4   :

Նյութի աղբյուրը  հղումով:

Շարունակությունը՝ հաջորդ համարում:

 

4. Երկրաչափական անհավասարություններ

Հենց սկսում ենք երկրաչափություն ուսումնասիրել, ծանոթանում ենք մի կարևոր փաստի՝ եռանկյան կողմը փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարից:

AB<BC+AC, AC<AB+BC, BC<AB+AC

Այս անհավասարությունը, որը անվանում են եռանկյան անհավասարություն, թույլ է տալիս լուծել մի շարք երկրաչափական հետաքրքիր խնդիրներ:

Խնդիր 1

Ապացուցեք, որ եռանկյան կամայական ներքին կետի գագաթներից ունեցած հեռավորությունների գումարը մեծ է եռանկյան կիսապարագծից:

Լուծում:

Դիտարկենք AOB, BOC, COA եռանկյունները և գրենք եռանկյան երեք անհավասարությունը՝

AO+OB>AB

BO+OC>BC

CO+OA>AC:

Գումարելով այս անհավասարությունները և բաժանելով 2-ի կստանանք՝

AO+BO+CO>(AB+BC+AC)

ինչը և պահանջվում էր ապացուցել:

Փորձեք անհավասարություններ ապացուցելու վերաբերյալ մի քանի խնդիր էլ ինքնուրույն լուծել: Պետք է եռանկյունները խելամտորեն ընտրել, դրանց կողմերի համար գրել անհավասարությունները և այդ անհավասարությունները բերել պահանջվող տեսքի:

Ապացուցել.

Խնդիր 2: Ուռուցիկ հնգանկյան անկյունագծերի գումարը փոքր է պարագծի կրկնապատիկից:

Խնդիր 3: Ուռուցիկ հնգանկյան անկյունագծերի գումարը մեծ է պարագծից:

Խնդիր 4. Եռանկյան միջնագիծը փոքր է այն երկու գողմերի կիսագումարից, որոնց միջև գտնվում է:

Խնդիր 5: Եռանկյան միջնագծերի գումարը փոքր է եռանկյան պարագծից, բայց մեծ է պարագծի երեք քառորդից:

Հավանաբար, նկատեցիք, որ յուրաքանչյուր խնդրում հարկ է լինում յուրովի ընտրել, թե ինչպես, որ ուղղությամբ գնահատում կատարել (անհավասարության նշանը դնել); Ընդ որում միշտ չէ, որ հնարավոր է լինում անհրաժետ արդյունքը ստանալը: Օրինակ, վերջին խնդրում հեշտ է ստանալը, որ միջնագծերի գումարը մեծ է կիսապարագծից (բավական է դիտարկել ABD, BCF, CAE եռանկյունները):

Միևնույն ժամանակ ստացված այլ եռանկյուններից կարելի է ստանալ ավելի ճշգրիտ գնահատական, որը պահանջվում է խնդրում: Հարց է առաջանում՝ ո՞րն է ամենամեծ k1 թիվը, որի համար ճիշտ է k1p < ma + mb + mc (այստեղ ma-ն, mb-ն, mc-ն համապատասխանաբար a, b, c կողմերին տարված միջնագծերն են, իսկ p-ն եռանկյան պարագիծն է):

Նմանապես հետաքրքիր է ճշգրիտ գնահատական ստանալ նաև մյուս կողմից՝ ո՞րն է ամենափոքր k2 թիվը, որի համար ma + mb + mc < k2p անհավասարությունը ճիշտ է ցանկացած եռանկյան համար:

Խնդիր 6: Ապացուցեք, որ եռանկյան միջնագծերի գումարը եռանկյան պարագծի հետ համեմատելիս լավագույն (այսինքն, եզրային) հաստատունները կլինեն՝ k1 = ¾, k2 = 1: Ավելի ճշգրիտ՝ ապացուցեք, որ

x= (ma + mb + mc)/ P հարաբերությունը ընդունում է [3/4, 1] հատվածի բոլոր արժեքները:

Ուշադրություն դարձնենք, որ նախորդ բոլոր խնդիրներում անհավասարությունները խիստ էին: Եթե ուզում ենք մոտենալ եզրին, այսինքն փնտրել այնպիսի եռանկյուններ, որոնց համար անհավասարությունը մոտ է հավասարության, պետք է եռանկյուններն էլ ընտրենք «այլասերվածին» մոտ :

Այսպես, որպեսզի ցույց տանք, որ ma + mb + mc >(3/4)p անհավասարությունը հնարավոր չէ ավելի լավացնել, կարելի է, օրինակ, դիտարկել այնպիսի հավասարասրուն եռանկյուններ, որոնց գագաթը մոտենում է հիմքին:

Պարզ է, որ այդպիս եռանկյան պարագիծը կձգտի հիմքի կրկնապատիկին, իսկ միջնագծերի գումարը հիմքի 3/2 մասին: Հավասարություն կստացվի, եթե գագաթը ընկնի հիմքի վրա, իսկ եռանկյունը «կայլասերվի» կրկնակի հատվածի:

Ընդհանրապես, [3/4, 1] հատվածին պատկանող ցանկացած x թվի համար կարելի է ցույց տալ այնպիսի հավասարասրուն եռանկյուն, որի համար (ma + mb + mc )/p= x : Սա թույլ է տալիս խնդիր 6-ը:

Խնդիր 7: Ապացուցեք, որ եռանկյան ցանկացած ներքին կետի գագաթներից ունեցած հեռավորությունների գումարը փոքր է պարագծից:

Խնդիր 8: Համեմատեք 1 և 7, 2 և 3 խնդիրները: Հետազոտեք նմանատիպ հարց, ինչ արեցինք միջնագծերի վերաբերյալ:

Խնդիր 9: Դիտարկենք հնարավոր ուռուցիկ n-անկյունները (n-ը որոշակի թիվ է): Այդ բազմանկյան մեջ ընտրենք մի կետ և հաշվենք այդ կետից մինչև բազմանկյան գագաթները եղած հեռավորությունների գումարի և բազմանկյան պարագծի հարաբերությունը: Ի՞նչ արժեքներ կարող է ընդունել այդ հարաբերությունը:

Հաջորդ խնդիրներում եռանկյան անհավասարությունից բացի պետք է օգտագործել նաև որոշ այլ պարզ անհավասարություններ, օրինակ, որ եռանկյան մեջ երկու կողմերից մեծ է այն, որը ավելի մեծ անկյան դիմաց է գտնվում, մասնավորապես, որ ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը մեծ է էջից և այլն:

Խնդիր 10: Ապացուցեք, որ բոլոր ուղղանկյուն եռանկյունների համար ճիշտ են հետևյալ անհավասարությունները՝

0,4 < r/h < 0,5, որտեղ r-ը եռանկյանը ներգծած շրջանի շառավիղն է, h-ը՝ ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը: Ճշգրի՞տ են նշված սահմանները:

Խնդիր 11: ABC եռանկյան C արտաքին անկյան կիսորդի վրա ընտրել են C-ից տարբեր M կետը: Ապացուցեք որ այդ կետից մինչև A և B գագաթները եղած հեռավորությունների գումարը ավելի մեծ է, քան C կետից մինչև նույն գագաթները եղած հեռավորությունների գումարը:

Խնդիր 12: Որպեսզի ABC եռանկյան մեջ A անկյունը լինի սուր, անհրաժեշտ է և բավարար, որ A գագաթից տարված միջնագիծը մեծ լինի BC կողմի կրկնապատիկից:

Խնդիր 13: ABC սուրանկյուն եռանկյան մեջ բարձրություններից ամենամեծը, ասենք՝ AH-ը, հավասար է BM միջնագծին: Ապացուցեք, որ ABC անկյունը փոքր է 600-ից:

Խնդիր 14: ABC եռանկյան ամենամեծ AC կողմի վրա տեղադրել են CD=BC հատվածը: Ապացուցեք, որ ABD անկյունը բութ է:

Խնդիր 15: A, B, C, D-ն ABCD ուռուցիկ քառանկյան հաջորդական գագաթներն են: Ապացուցեք, եթե AB + BD  AC + CD, ապա AB ≤ AC:

Աղբյուր՝ Բաշմակով Մ. Ի. «Քվանտ», 1970, համար 2

 

5. Խնդիրների թարգմանություն Քվանտ ամսագրից:

1.Ներկեցին վանդակավոր քառակուսու երկու անկյունագծերի այն վանդակները, որոնք ունեն  ընդհանուր  գագաթ, տես նկարը։ Անկյունագծերից մեկը բաղկացած էր 20 վանդակից, իսկ մյուսը՝ 19 վանդակից։ Հնարավո՞ր է, որ այդ քառակուսին լինի 33×33 չափի։

2.ГУРА+НОРА+РАГУ+РУНО

Այս գրության մեջ միևնույն տառերը փոխարինված  են միևնույն թվանշաններով,  իսկ տարբեր տառերը՝ տարբեր թվանշաններով։ Ապացուցե՛ք, որ այդ գումարը բաժանվում է եռանիշ թվի վրա։

3.Նկարին նայելով գտեք հարցականով նշված հատվածի երկարությունը:

4.Մի օր Գոգոլը որոշեց վախեցնել Տուրգենևին։ Նա հագնվեց Պուշկինի նման և գնաց Տուրգենևին հյուր։ Իսկ Տուրգենևն էլ հենց այդ օրը որոշել էր վախեցնել Գոգոլին։ Նա նույնպես հագնվել էր Պուշկինի նման և գնում էր Գոգոլին հյուր։ Կեսօրին նրանք հանդիպեցին Տվերյան զբոսայգում, բայց չճանաչեցին իրար և աննակտ անցան իրար կողքով։ 12:45ր Տուրգենևը hասավ  Գոգոլի տուն՝ տեսնելով  որ տանը մարդ չկա, հետ վերադարձավ։ 13:15ր Գոգոլը հասավ Տուգենևի տուն և նույնպես՝  տեսնելով որ տանը մարդ չկա հետ վերադարձավ: 13:45 Գոգոլը և Տուրգենևը նորից հանդիպեցին և միաժամանակ բղավեցին․
– Ա՛յ քեզ բան,  Պուշկի՞ն։
Նրանից ո՞վ և քանի՞ րոպե տարբերությամբ էր շուտ դուրս եկել տնից:    Նշենք, որ յուրաքանչյուր գրող քայլում էր միևնույն հաստատուն արագությամբ:

Թողարկման պատասխանատուներ.

Թողարկող, խմբագիր՝  Մարիա Աբրահամյան, Միջին դպրոց, 7-րդ դասարան

Աշխատանքը թարգմանեցին.

Կարինե, Արսեն Գոմցյաններ՝  Միջին դպրոց 7-րդ, 8-րդ դասարաններ

Սյուզի Հակոբյան՝   մաթեմատիկայի դասավանդող

Մարիամ Հովհաննիսյան՝ Ավագ դպրոց, 9-րդ դասարան

Գևորգ Հակոբյան՝ Մանկավարժության լաբորատորիայի ղեկավար

Խաչբառի հեղինակ՝
Լուիզա Եղիազարյան, Միջին դպրոց, 7-րդ դասարան

Leave a Reply

Skip to toolbar